Question

19．从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的面积是$27\sqrt{3}$；．

Answer 1

分析 作AM⊥BC，根据等边三角形的面积计算可以求得AM=PE+PD+PF，再根据等边三角形的高线长可以计算等边三角形的边长，即可解题．

解答 解：过A作AM⊥BC，则AM为BC边上的高，
连接PA、PB、PC，
则△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$BC•AM=$\frac{1}{2}$（BC•PD+AB•PF+AC•PE），
∴BC•AM=BC•PD+AB•PF+AC•PE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∴BC•AM=BC•PD+BC•PF+BC•PE=BC•（PD+PF+PE），
∴PD+PE+PF=AM，
∴△ABC的高为：1+3+5=9，
∴△ABC的边长为：AB=$\frac{AM}{sin∠ABC}$=9×$\frac{2}{\sqrt{3}}$=9×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=6 $\sqrt{3}$，
故面积为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×6\sqrt{3}×9=27\sqrt{3}$，
故答案为$27\sqrt{3}$；

点评 本题考查了三角形面积的计算，考查了等边三角形边长和高线长的关系，本题中求AM=PD+PE+PF是解题的关键．