Question

10．如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E、F为切点．
（1）试猜DO与AO的位置关系，并说明理由．
（2）若AO=4cm，DO=3cm，求⊙O的面积．

Answer 1

分析 （1）由⊙O是梯形ABCD的内切圆，易得DE和DF是⊙O的两条切线，即可得∠ADO+∠DAO=$\frac{1}{2}$（∠ADC+∠DAB），又由AB∥CD，可得∠ADO+∠DAO=90°，继而证得结论；
（2）由AO=4cm，DO=3cm，可求得AD的长，继而求得EO的长，则可求得答案．

解答 解：（1）AO⊥DO．
理由：∵⊙O是梯形ABCD的内切圆，
∴DE和DF是⊙O的两条切线，
∴∠ADO=∠CDO=$\frac{1}{2}$∠ADC．
同理可得：∠DAO=$\frac{1}{2}$∠DAB．
∴∠ADO+∠DAO=$\frac{1}{2}$（∠ADC+∠DAB），
∵AB∥CD，
∴∠ADC+∠DAB=180°，
∴∠ADO+∠DAO=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∵∠AOD=180°-（∠ADO+∠DAO）=90°，
∴AO⊥DO；

（2）∵DO=3cm AO=4cm，∠AOD=90°
∴AD=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5 cm，
在Rt△AOD中，EO⊥AD，
∴AD•EO=DO•AO，
即5 EO=3×4，
解得EO=$\frac{12}{5}$cm，
∴S_⊙O=πEO²=π （$\frac{12}{5}$）²=$\frac{144}{25}$π．

点评 此题考查了切线的性质，梯形的性质以及勾股定理等知识．注意掌握切线长定理的应用是解此题的关键．