Question

8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²-2mx+m²+m的顶点为C．
（1）求点C的坐标（用含m的代数式表示）
（2）直线y=x+2与抛物线交于A、B两点，点A在抛物线的对称轴左侧．
①若P为直线OC上一动点，求△APB的面积；
②在线段AB上找一点P，连接CP，点Q从点C出发沿线段CP以每秒1个长度单位前进，然后沿线段PB以每秒$\sqrt{2}$个长度单位前进到点B，从点C出发到点B最少用时4秒，最少用时的总行程为2$\sqrt{2}$+2个长度单位．

Answer 1

分析 （1）把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出点C的坐标；
（2）①联立直线与抛物线求出交点A、B的坐标，然后求出AB的长，再根据AB∥OC求出两平行线间的距离，最后根据三角形的面积公式列式计算即可得解；
②PB用时为t₁=$\frac{PB}{\sqrt{2}}$=BM=PM，PC用时为：t=PC，得到t_总=PM+PC=y_B-y_C=（m+4）-m=4s，S_总=2$\sqrt{2}$+2．

解答 解：（1）∵y=x²-2mx+m²+m=（x-m）²+m，
∴顶点坐标为C（m，m）；
（2）①∵y=x+2与抛物线y=x²-2mx+m²+m交于A、B两点，
∴联立$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-2mx+{m}^{2}+m}\\{y=x+2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=m-1}\\{y=m+1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=m+2}\\{y=m+4}\end{array}\right.$，
∵点A在点B的左侧，
∴A（m-1，m+1），B（m+2，m+4），
∴AB=$\sqrt{（m-1-m-2）^{2}+（m+1-m-4）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∵直线OC的解析式为y=x，直线AB的解析式为y=x+2，
∴AB∥OC，两直线AB、OC之间距离h=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$，
∴S_△APB=$\frac{1}{2}$AB•h=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=3；
②PB用时为t₁=$\frac{PB}{\sqrt{2}}$=BM=PM，
PC用时为：t=PC，
t_总=PM+PC=y_B-y_C=（m+4）-m=4s，
此时x_p=x_c=m，y_p=m+2，
∴PB=2$\sqrt{2}$，PC=2，
∴S_总=2$\sqrt{2}$+2，
即从点C出发到点B最少用时4秒，最少用时的总行程为2$\sqrt{2}$+2个长度单位．
故答案为：4，2$\sqrt{2}$+2．

点评 本题考查了二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离，三角形面积的计算，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．