题目内容
如图，在菱形ABCD中，AB=BD=2，点E，F分别在边CD，BC上，且BF=CE．连接BE，DF相交于点H，连接AH，BD相交于点G．若BF：FC=2：1，则AH=考点：菱形的性质
专题：
分析：如图，作辅助线；证明△BDF≌△CBE，得到∠BDF=∠CBE，进而证明∠BHF=60°，此为解题的关键性结论；证明△BFH∽△BEC，得到
=
；证明△BCE∽△AHB，得到
=
，即可解决问题．
| CE |
| BH |
| BE |
| AB |
| BC |
| AH |
| BE |
| AB |
解答：
解：取CD的中点M，连接BM；设CF=2λ，则F=4λ，BC=6λ；
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=CD，而AB=BD=2，
∴BC=CD=BD=2，△BCD为等边三角形，
∴CM=3λ，BM=3
λ；
∵CE=BF=4λ，ME=λ；
由勾股定理得：BE2=BM2+EM2，
∴BE=2
λ；
在△BDF与△CBE中，
，
∴△BDF≌△CBE（SAS），
∴∠BDF=∠CBE，
∴∠BHF=∠BDF+∠DBE=∠CBE=∠CBE+∠DBE=60°，
∴△BFH∽△BEC，
∴
=
，
∵BF=CE，BC=AB，
∴
=
，即
=
；
∵AB∥CD，
∴∠BEC=∠ABH，
∴△BCE∽△AHB，
∴
=
，即
=
，
∴AH=
，而6λ=2，
∴AH=
，
故答案为
．
解：取CD的中点M，连接BM；设CF=2λ，则F=4λ，BC=6λ；∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=CD，而AB=BD=2，
∴BC=CD=BD=2，△BCD为等边三角形，
∴CM=3λ，BM=3
| 3 |
∵CE=BF=4λ，ME=λ；
由勾股定理得：BE2=BM2+EM2，
∴BE=2
| 7 |
在△BDF与△CBE中，
|
∴△BDF≌△CBE（SAS），
∴∠BDF=∠CBE，
∴∠BHF=∠BDF+∠DBE=∠CBE=∠CBE+∠DBE=60°，
∴△BFH∽△BEC，
∴
| BF |
| BE |
| BH |
| BC |
∵BF=CE，BC=AB，
∴
| CE |
| BE |
| BH |
| AB |
| CE |
| BH |
| BE |
| AB |
∵AB∥CD，
∴∠BEC=∠ABH，
∴△BCE∽△AHB，
∴
| BC |
| AH |
| BE |
| AB |
| 6λ |
| AH |
2
| ||
| 6λ |
∴AH=
18
| ||
| 7 |
∴AH=
6
| ||
| 7 |
故答案为
6
| ||
| 7 |
点评：该题主要考查了菱形的性质及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用全等三角形的判定及其性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点来分析、判断、推理或解答．
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B、若
| ||||
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