Question

如图，二次函数y=ax²+2ax+4的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，OC：OB=2：1，
（1）求此二次函数的解析式；
（2）动直线l从与直线AC重合的位置出发，绕点A顺时针旋转，与直线AB重合时终止运动，直线l与BC交于点D，P是线段AD的中点．
①直接写出点P所经过的路线长．
②点D与B、C不重合时，过点D作DE⊥AC于点E、作DF⊥AB于点F，连结PE、PF，在旋转过程中，∠EPF的大小是否发生变化？若不变，求∠EPF的度数；若变化，请说明理由．
③在②的条件下，连结EF，求EF的最小值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）先令x=0求出OC的长度，再利用∠CBO正切值求出OB的长度，从而得到点B的坐标，然后代入二次函数解析式求出a的值，即可得解；
（2）①利用勾股定理列式求出BC，再判断出点P经过的路线为△ABC的中位线，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答；
②根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EP=AP=

1

2

AD，FP=AP=

1

2

AD，再根据等边对等角可得∠CAD=∠AEP，∠BAD=∠AFP，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠EPF=2∠BAC，令y=0，解关于x的一元二次方程求出点A的坐标，从而得到OA=OC，求出∠BAC=45°，即可得解；
③判断出△EFP是等腰直角三角形，从而确定AD⊥BC时，EF最短，利用△ABC的面积列式求出AD⊥BC时的值，再求出EP，然后根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的

2

解答．

解答：解：（1）令x=0，则y=4，
∴OC=4，
∵OC：OB=2：1，
∴

OC

OB

=

4

OB

=2，
解得OB=2，
∴点B的坐标为（2，0），
代入二次函数y=ax²+2ax+4得，4a+2a•2+4=0，
解得a=-

1

2

，
∴二次函数解析式为y=-

1

2

x²-x+4；

（2）①在Rt△OBC中，BC=

OC2+OB2

=

42+22

=2

5

，
∵P是线段AD的中点，
∴点P经过的路线为△ABC的中位线，
长度为：

1

2

BC=

1

2

×2

5

=

5

；
②∵DE⊥AC，DF⊥AB，P是线段AD的中点，
∴EP=AP=

1

2

AD，FP=AP=

1

2

AD，
∴∠CAD=∠AEP，∠BAD=∠AFP，
∴∠EPF=∠EPD+∠FPD=∠CAD+∠AEP+∠BAD+∠AFP=2∠CAD+2∠BAD=2∠BAC，
令y=0，则-

1

2

x²-x+4=0，
整理得，x²+2x-8=0，
解得x₁=2，x₂=-4，
∴点A坐标为（-4，0），
∴OA=OC=4，
∴∠BAC=45°，
∴∠EPF=2×45°=90°；
③∵EP=AP=

1

2

AD，FP=AP=

1

2

AD，
∴EP=FP，
∵∠EPF=90°，
∴△EFP是等腰直角三角形，
∴AD⊥BC时，EF最短，
此时，S_△ABC=

1

2

AB•OC=

1

2

BC•AD，
即

1

2

×|-4-2|×4=

1

2

×2

5

AD，
解得AD=

12 5

5

，
∴EP=

1

2

AD=

6 5

5

，
∴EF_最小=

2

EP=

2

×

6 5

5

=

6 10

5

．

点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求函数解析式，锐角三角函数，三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积的应用，综合性较强，难度较大，熟记各性质是解题的关键．