Question

如图1，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2），点P是抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交直线BC于点D．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标；
（3）如图2，当点P位于直线BC上方的抛物线上时，过点P作PE⊥BC于点E，设△PDE的面积为S，求当S取得最大值时点P的坐标，并求S的最大值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）把A、B、C三点的坐标代入可求得a、b、c的值，可得出函数表达式；
（2）可先求得BC的解析式，设出Q点坐标，可表示出D点坐标和P点坐标，可表示出PD的长，由条件可得PD=OC=2，可求得P点坐标，则可得Q点的坐标；
（3）可设出P的坐标，由PQ∥OC可表示出DQ、BD，由△PED∽△BQD可表示出PE和DE，则可表示出S，再结合P在直线BC上方，可求得S的最大值，可求得P点的坐标．

解答：解：（1）∵二次函数与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2），
∴代入二次函数解析式可得

a-b+c=0 16a+4b+c=0 c=2

，
解得

a=- 1 2 b= 3 2 c=2

，
∴二次函数表达式为y=-

1

2

x²+

3

2

x+2；
（2）设直线BC解析式为y=kx+b，
∵B（4，0），C（0，2），
∴代入可得

4k+b=0 b=2

，
解得

k=- 1 2 b=2

，
∴直线BC解析式为y=-

1

2

x+2，
设Q坐标为（m，0），则可知D点坐标为（m，-

1

2

m+2），
又∵P点在抛物线上，
∴P点坐标为（m，-

1

2

m²+

3

2

m+2），
当P、D、O、C为顶点的四边形为平行四边形时，则有PD=OC=2，
即|-

1

2

m²+

3

2

m+2-（-

1

2

m+2）|=2，即|-

1

2

m²+2m|=2，
当-

1

2

m²+2m=2时，解得m=2，则Q坐标为（2，0），
当-

1

2

m²+2m=-2时，解得m=2±2

2

，则Q坐标为（2+

2

，0）或（2-

2

，0），
综上可知Q点坐标为（2，0）或（2+2

2

，0）或（2-2

2

，0）；
（3）设Q点坐标为（n，0），由（2）可知D为（n，-

1

2

n+2），P点坐标为（n，-

1

2

n²+

3

2

n+2），
∴PD=-

1

2

n²+2n=

1

2

n（4-n），DQ=-

1

2

n+2，
又∵OB=4，
∴BQ=4-n，
在Rt△OBC中，OC=2，OB=4，由勾股定理可求得BC=2

5

，
∵OQ∥OC，
∴

BD

BC

=

BQ

OB

，即

BD

2 5

=

4-n

4

，解得BD=

5 (4-n)

2

，
∵PE⊥BC，PQ⊥QB，
∴∠PED=∠BQD=90°，且∠PDE=∠BDQ，
∴△PED∽△BQD，
∴

PE

BQ

=

DE

DQ

=

PD

BD

=

1 2 n(4-n)

5 (4-n) 2

=

n

5

，
即

PE

4-n

=

DE

- 1 2 n+2

=

n

5

，
解得PE=

n(4-n)

5

，DE=

1

2

n（4-n），
∴S=

1

2

PE•DE=

1

2

×

n(4-n)

5

×

n(4-n)

2

=

5

20

（-n²+4n）²，
令t=-n²+4n=-（n-2）²+4，
∵P在直线BC上方，
∴0＜n＜4，
∴0＜t≤4，且当n=2时，t有最大值4，
此时P点坐标为（2，3），
∴当t=4时，S_max=

5

20

×4²=

4 5

5

，
综上可知当P为（2，3）时，S有最大值，最大值为=

4 5

5

．

点评：本题主要考查待定系数法求函数解析式及平行四边形的性质、平行线分线段成比例和相似三角形的判定和性质．在（1）中注意待定系数法应用的关键是点的坐标，在（2）中用Q的坐标表示出PD的长度，得到关于Q点坐标的方程是解题的关键，在（3）中用Q点的坐标表示出PE、DE的长度是解题的关键．本题知识点多，计算量大，难度较大．