Question

18．在Rt△ABC中，∠C=90°，其内切圆半径为2cm，斜边AB=10cm，那么△ABC的面积是（　　）

• A． 48cm²
• B． 24cm²
• C． 20cm²
• D． 12cm²

Answer 1

分析 设Rt△ABC的内切圆与三边分别相切于D、E、F，连接OE、OF，则OE⊥BC，OF⊥AC，OE=OF，证出四边形OECF是正方形，得出CE=CF=OE=2cm，设AF=x，由切线长定理得出：AD=AF=xcm，则BE=BD=（10-x）cm，由勾股定理得出方程，解方程求出AC、BC，即可得出结果．

解答 解：如图所示：
设Rt△ABC的内切圆与三边分别相切于D、E、F，连接OE、OF，
则OE⊥BC，OF⊥AC，OE=OF，
∵∠C=90°，
∴四边形OECF是正方形，
∴CE=CF=OE=2cm，
设AF=x，由切线长定理得：AD=AF=xcm，
则BE=BD=（10-x）cm，
由勾股定理得：AC²+BC²=AB²，
即（x+2）²+（10-x+2）²=10²，
解得：x=6，或x=4，
当x=6时，AC=8cm，BC=6cm；
当x=4时，AC=6cm，BC=8cm；
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×6×8=24（cm²）；
故选：B．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心、正方形的判定与性质、切线长定理、勾股定理；熟练掌握切线长定理，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．