题目内容
11．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象经过点（2，2）．（1）分别求这两个函数的表达式；
（2）将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于B，与反比例函数图象在第一象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及△ABC的面积；
（3）反比例函数图象上是否存在点D，使DC⊥BC？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
分析 （1）将点A（2，2）代入正比例函数中即可求出k的值，再将A（2，2）代入反比例函数中即可求出m的值．
（2）由题意可知点B的坐标为（0，3），所以直线BC的解析式为y=x+3，联立直线BC的解析式与反比例函数的解析式即可求出C的坐标，连接OC，由于OA∥BC，所以△ABC的面积等于△BOC的面积．
（3）设D（m，$\frac{4}{m}$），由于DC⊥BC，所以kDC•kBC=-1，从而列出方程求出m的值．
解答 解：（1）将A（2，2）代入y=kx，
∴2k=2，
∴k=1，
∴正比例函数的解析式为：y=x
将A（2，2）代入y=$\frac{m}{x}$，
∴m=2×2=4，
∴反比例函数的解析式为：y=$\frac{4}{x}$；
（2）∵直线BC由直线OA向上平移3个单位所得，
∴B（0，3）
∴直线BC的解析式为：y=x+3，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
∵点C在第一象限，
∴点C的坐标为（1，4）
∵OA∥BC，
∴S△ABC=S△BOC=$\frac{1}{2}$×3×4=6，
（3）设D（m，$\frac{4}{m}$）
∵DC⊥BC，
∴kDC•kBC=-1，
∵kDC=$\frac{\frac{4}{m}-4}{m-1}$=$\frac{-4}{m}$，
∴$\frac{-4}{m}$×1=-1，
∴m=4，
∴D（4，1）
点评 本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是根据待定系数法求出两图象的解析式，本题属于基中等题型．
如图是位于陕西省西安市荐福寺内的小雁塔，是中国早期方形密檐式砖塔的典型作品，并作为丝绸之路的一处重要遗址点，被列入《世界遗产名录》．小铭、小希等几位同学想利用一些测量工具和所学的几何知识测量小雁塔的高度，由于观测点与小雁塔底部间的距离不易测量，因此经过研究需要进行两次测量，于是在阳光下，他们首先利用影长进行测量，方法如下：小铭在小雁塔的影子顶端D处竖直立一根木棒CD，并测得此时木棒的影长DE=2.4米；然后，小希在BD的延长线上找出一点F，使得A、C、F三点在同一直线上，并测得DF=2.5米．已知图中所有点均在同一平面内，木棒高CD=1.72米，AB⊥BF，CD⊥BF，试根据以上测量数据，求小雁塔的高度AB．
如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．若点F是AE的中点，求证：BF⊥AF．
如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD是AB边上的中线，分别过点C，D作BA和BC的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．
已知抛物线y=$\frac{1}{4}$x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（$\sqrt{3}$，3），P是抛物线y=$\frac{1}{4}$x2+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是（ ）