如图.在平面直角坐标系中.正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象经过点(2.2)．(1)分别求这两个函数的表达式,(2)将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于B.与反比例函数图象在第一象限内的交点为C.连接AB.AC.求点C的坐标及△ABC的面积,(3)反比例函数图象上是否存在点D.使DC⊥BC?若存在.请求出� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象经过点（2，2）．
（1）分别求这两个函数的表达式；
（2）将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于B，与反比例函数图象在第一象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及△ABC的面积；
（3）反比例函数图象上是否存在点D，使DC⊥BC？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）将点A（2，2）代入正比例函数中即可求出k的值，再将A（2，2）代入反比例函数中即可求出m的值．
（2）由题意可知点B的坐标为（0，3），所以直线BC的解析式为y=x+3，联立直线BC的解析式与反比例函数的解析式即可求出C的坐标，连接OC，由于OA∥BC，所以△ABC的面积等于△BOC的面积．
（3）设D（m，$\frac{4}{m}$），由于DC⊥BC，所以k_DC•k_BC=-1，从而列出方程求出m的值．

解答解：（1）将A（2，2）代入y=kx，
∴2k=2，
∴k=1，
∴正比例函数的解析式为：y=x
将A（2，2）代入y=$\frac{m}{x}$，
∴m=2×2=4，
∴反比例函数的解析式为：y=$\frac{4}{x}$；

（2）∵直线BC由直线OA向上平移3个单位所得，
∴B（0，3）
∴直线BC的解析式为：y=x+3，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
∵点C在第一象限，
∴点C的坐标为（1，4）
∵OA∥BC，
∴S_△ABC=S_△BOC=$\frac{1}{2}$×3×4=6，

（3）设D（m，$\frac{4}{m}$）
∵DC⊥BC，
∴k_DC•k_BC=-1，
∵k_DC=$\frac{\frac{4}{m}-4}{m-1}$=$\frac{-4}{m}$，
∴$\frac{-4}{m}$×1=-1，
∴m=4，
∴D（4，1）