Question

1．已知抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（$\sqrt{3}$，3），P是抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+1于点P，由PF=PE结合三角形三边关系，即可得出此时△PMF周长取最小值，再由点F、M的坐标即可得出MF、ME的长度，进而得出△PMF周长的最小值．

解答 解：过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+1于点P，此时△PMF周长最小值，
∵F（0，2）、M（$\sqrt{3}$，3），
∴ME=3，FM=$\sqrt{（\sqrt{3}-0）^{2}+（3-2）^{2}}$=2，
∴△PMF周长的最小值=ME+FM=3+2=5．
故选C．

点评 本题考查了二次函数的性质以及三角形三边关系，根据三角形的三边关系确定点P的位置是解题的关键．