Question

18．如图，过△ABC的顶点C作这个三角形的外接圆的切线l，AP和BQ即是△ABC的两条高，QQ₁⊥l，PP₁⊥l，求证：QQ₁=PP₁．

Answer 1

分析 作辅助线，构建四边形QPP₁Q₁和直径，只要证明四边形QPP₁Q₁为矩形就可以得出结论，由图形和已知发现四边形QPP₁Q₁有两个角是直角，只要再证明一个直角即可，所以本题的重点是证明∠QPP₁=90°即可．

解答 证明：连接CO，并延长交⊙O于E，连接BE、PQ，
∵AP和BQ是△ABC的两条高，
∴AP⊥BC，BQ⊥AC，
∴∠APB=∠AQB=90°，
∴A、B、P、Q四点共圆，
∴∠QPC=∠CAB，
∵∠CAB=∠E，
∴∠E=∠QPC，
∵l是⊙O的切线，
∴EC⊥l，
∵PP₁⊥l，
∴PP₁∥EC，
∴∠ECB=∠CPP₁，
∵EC为⊙O的直径，
∴∠EBC=90°，
∴∠E+∠ECB=90°，
∴∠QPC+∠CPP₁=90°，
即∠QPP₁=90°，
∵QQ₁⊥l，PP₁⊥l，
∴∠QQ₁C=∠PP₁C=90°，
∴四边形QPP₁Q₁为矩形，
∴QQ₁=PP₁．

点评 本题考查了切线的性质、圆周角定理、矩形的性质和判定以及四点共圆的判定和性质，本题的关键是证明∠QPP₁=90°即可；要熟练掌握矩形的判定和四点共圆的判定．