Question

10．如图，已知矩形OABC中，点A（2，0）、C（0，1）．点D是边BC的中点，过点D作DE⊥OA于点E，双曲线y=$\frac{k}{x}$过点D交AB于点G，直线AC交DE于点F，连接DG、FG．
（1）求点D的坐标；
（2）求k的值与直线AC的解析式；
（3）求四边形DCFG的面积．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质和中点的定义容易得出结果；
（2）由点D的证明求出k的值，由待定系数法求出直线AC的解析式即可；
（3）由矩形的性质得出BC=OA，BC∥OA，AB=OC=1，求出G点坐标为（2，$\frac{1}{2}$），得出G是AB的中点，证明四边形DCFG是平行四边形，即可求出面积．

解答 解：（1）∵矩形OABC中，点A（2，0）、C（0，1），点D是BC的中点，
∴D（1，1），
（2）∵点D在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=1×1=1，
∴反比例函数的解析式为；y=$\frac{1}{x}$．
设直线AC的解析式为y=ax+b，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=0}\\{b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+1；
（3）∵四边形OABC是矩形，点A（2，0），
∴BC=OA，BC∥OA，AB=OC=1，
当x=2时，y=$\frac{1}{2}$，
∴G点坐标为（2，$\frac{1}{2}$），
∴G是AB的中点，
∵点D是边BC的中点，DE⊥OA，
∴E是OA的中点，
∴CD=AE，
∵BC∥OA，
∴DF：EF=CD：AE=1：1，
∴DF=EF=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$，
∴FG∥CD，FG=AE=CD，
∴四边形DCFG是平行四边形，
∴四边形DCFG的面积=CD•DF=1×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查的是反比例函数与一次函数的交点、待定系数法求函数解析式、矩形的性质、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质，求出函数解析式是解决问题的关键．