Question

5．如图，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．
（1）判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；
（2）当BD，AC满足什么条件时，四边形EFGH是正方形．（不要求证明）

Answer 1

分析 （1）在△ABC中，E、F分别是边AB、BC中点，得到EF∥AC，且EF=$\frac{1}{2}$AC，GH∥AC，且GH=$\frac{1}{2}$AC，得到四边形EFGH是平行四边形；
（2）四边形EFGH是平行四边形，再由AC=BD，得出EH=EF，从而证得四边形EFGH是菱形．对角线相等，推知四边形EFGH是正方形；

解答 解：（1）在△ABC中，E、F分别是边AB、BC中点，
所以EF∥AC，且EF=$\frac{1}{2}$AC，
同理有GH∥AC，且GH=$\frac{1}{2}$AC，
∴EF∥GH且EF=GH，
故四边形EFGH是平行四边形．

（2）EH∥BD且EH=$\frac{1}{2}$BD，
若AC=BD，则有EH=EF，
又因为四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形，
∵AC⊥BD，
∴∠EHG=90°，
即：当AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形．

点评 本题考查了三角形的中位线定理、菱形的判定及性质、平行四边形的判定及性质以及正方形的判定，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．