Question

15．我们定义：a是不为1的有理数，我们把$\frac{1}{1-a}$称为a的衍生数．如：2的衍生数是$\frac{1}{1-2}$=-1，-1的衍生数是$\frac{1}{1-（-1）}$=$\frac{1}{2}$．
（1）若a的衍生数等于$\frac{2}{3}$，则a的值为$-\frac{1}{2}$．
（2）已知a₁=-$\frac{1}{3}$，a₂是a₁的衍生数，a₃是a₂的衍生数，a₄是a₃的衍生数…以此类推，a₂₀₁₅的值为$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）根据题意可得分式方程：$\frac{1}{1-a}$=$\frac{2}{3}$，解此方程即可求得答案；
（2）首先根据题意求得a₂，a₃，a₄的值，可得规律：a_n的衍生数3次一循环，继而求得答案．

解答 解：（1）根据题意得：$\frac{1}{1-a}$=$\frac{2}{3}$，
解得a=-$\frac{1}{2}$，
经检验，a=-$\frac{1}{2}$是原分式方程的解．
即a=-$\frac{1}{2}$；
故答案为：$-\frac{1}{2}$；

（2）∵a₁=$\frac{1}{3}$，
∴a₁的衍生数a₂=$\frac{1}{1-（-\frac{1}{3}）}$=$\frac{3}{4}$，
a₂的衍生数a₃=$\frac{1}{1-\frac{3}{4}}$=4，
a₃的衍生数a₄=$\frac{1}{1-4}$=-$\frac{1}{3}$，
a₄的衍生数a₅=$\frac{1}{1-（-\frac{1}{3}）}$=$\frac{3}{4}$；
∴a_n的衍生数3次一循环，
∵2015÷3=671…2；
∴a₂₀₁₅=a₂=$\frac{3}{4}$，
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 此题考查了分式方程的求解方法．此题难度适中，属于规律性题目，注意得到规律：a_n的衍生数3次一循环是解此题的关键．