Question

17．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，点D，E在BC上，且∠DAE=45°，若CD=$\sqrt{2}$，则DE=$\frac{17\sqrt{2}}{8}$．

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的性质得∠2=∠C=45°，再把△ACD绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，如图，根据旋转的性质得∠1=∠C=45°，BF=CD，AF=AD，∠BAF=∠CAD，∠DAF=90°，接着证明∠EAD=∠EAF，然后根据“SAS”可判断△ADE≌△ADF，得到DE=FE；由于∠FBE=∠1+∠2=90°，根据勾股定理得BE²+BF²=EF²，推出CD²+BE²=DE²，由此即可解决问题．

解答 证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠2=∠C=45°，
把△ACD绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，如图，则∠1=∠C=45°，BF=CD，AF=AD，∠BAF=∠CAD，∠DAF=90°，
∵∠DAE=45°，
∴∠CAD+∠BAE=45°，
∴∠BAE+∠BAF=45°，即∠EAF=45°，
∴∠EAD=∠EAF，
在△ADE和△AFE中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{∠EAD=∠EAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△AFE，
∴DE=FE，
∵∠FBE=∠1+∠2=90°，
∴BE²+BF²=EF²，
∴CD²+BE²=DE²，
Rt△ABC中，∵AB=AC=5，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∵CD=$\sqrt{2}$，
∴BD=4$\sqrt{2}$，设DE=x，则BE=4$\sqrt{2}$-x，
则有x²=（4$\sqrt{2}$-x）²+（$\sqrt{2}$）²，
∴x=$\frac{17\sqrt{2}}{8}$，
∴ED=$\frac{17\sqrt{2}}{8}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．