Question

10．观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：
例 1：$\frac{1}{{\sqrt{2}+1}}$=$\frac{{\sqrt{2}-1}}{{（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）}}$=$\frac{{\sqrt{2}-1}}{{{{（\sqrt{2}）}^2}-1}}$=$\frac{{\sqrt{2}-1}}{1}$=$\sqrt{2}$-1．
例 2：$\frac{1}{{\sqrt{3}+\sqrt{2}}}$=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$，$\frac{1}{{\sqrt{4}+\sqrt{3}}}$=$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$，$\frac{1}{{\sqrt{5}+\sqrt{4}}}$=$\sqrt{5}$-$\sqrt{4}$，…
（1）填空：$\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$=10-3$\sqrt{11}$； $\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}$=10-3$\sqrt{11}$．
（2）请你用含 n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律：$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$．
（3）利用上面的结论，求下列式子的值（要有计算过程）.$\frac{1}{{\sqrt{1}+\sqrt{2}}}$+$\frac{1}{{\sqrt{2}+\sqrt{3}}}$+$\frac{1}{{\sqrt{3}+\sqrt{4}}}$+…+$\frac{1}{{\sqrt{9999}+\sqrt{10000}}}$．

Answer 1

分析 （1）根据例题即可得到结论；
（2）根据题中给出的式子找出规律，根据此规律即可得出结论；
（3）根据（2）的结论计算即可．

解答 解：（1）填空：$\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$=$\sqrt{6}$-$\sqrt{5}$； $\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}$=10-3$\sqrt{11}$．
故答案为：10-3$\sqrt{11}$，10-3$\sqrt{11}$；
（2）请你用含 n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律：$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$；
故答案为：$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$；
（3）$\frac{1}{{\sqrt{1}+\sqrt{2}}}$+$\frac{1}{{\sqrt{2}+\sqrt{3}}}$+$\frac{1}{{\sqrt{3}+\sqrt{4}}}$+…+$\frac{1}{{\sqrt{9999}+\sqrt{10000}}}$=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$…+$\sqrt{10000}$-$\sqrt{9999}$=$\sqrt{10000}$-1=100-1=99．

点评 本题考查的是分母有理化，根据题中给出的例子找出规律是解答此题的关键．