如图.在直角坐标系中.抛物线y=$\frac{1}{3}$x2-mx+n与x轴交于A.B两点.与y轴交于点C.且对称轴是直线x=1．直线y=x-1与抛物线y=$\frac{1}{3}$x2-mx+n相交于C.D两点．点P是抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式及A.B两点的坐标,(2)在抛物线的CBD段上是否存在点P.使△CDP的面积最大?若存在.求出点P的坐标,若不存在.说明理由,(3)点P在� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．

如图，在直角坐标系中，抛物线y=$\frac{1}{3}$x²-mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且对称轴是直线x=1．直线y=x-1与抛物线y=$\frac{1}{3}$x²-mx+n相交于C，D两点．点P是抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式及A，B两点的坐标；
（2）在抛物线的CBD段上是否存在点P，使△CDP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点P在抛物线的CB段上时，设四边形APBD的面积为S．当S取何值时，满足条件的点P只有一个？当S取何值时，满足条件的点P有两个？

分析（1）根据对称轴x=1即可求出m的值，根据直线y=x-1与抛物线y=$\frac{1}{3}$x²-mx+n相交于C，D两点即可求出n的值，进而求出抛物线的解析式，A，B两点的坐标也可求出；
（2）当过点P的直线与CD平行且与抛物线相切时，△CDP的面积最大，求出满足条件的解析式，进行联立方程组求出点P的坐标；
（3）首先求出抛物线的顶点坐标，根据图形分别求出P点在C点、顶点坐标以及在点B位置时四边形APBD的面积，结合图形即可求出满足条件的S的取值．

解答解：（1）∵抛物线y=$\frac{1}{3}$x²-mx+n的对称轴是直线x=1，
∴m=$\frac{2}{3}$，
∵直线y=x-1与抛物线y=$\frac{1}{3}$x²-mx+n相交于C，D两点，
∴C点坐标为（0，-1），
∴n=-1，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x-1，
∴令y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x-1=0，
∴x²-2x-3=0，
∴x=-1或x=3，
∴点A坐标为（-1，0），点B坐标为（3，0）；
（2）当过点P的直线与CD平行且与抛物线相切时，△CDP的面积最大，
设过点P的直线为y=x+b，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{y=\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{2}{3}x-1}\end{array}\right.$，
即x²-5x-3-3b=0，
△=25-4×（-3-3b）=0，
解得b=-$\frac{37}{12}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-\frac{37}{12}}\\{y=\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{2}{3}x-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=-\frac{7}{12}}\end{array}\right.$，
故点P的坐标为（$\frac{5}{2}$，-$\frac{7}{12}$）；
（3）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{2}{3}x-1}\end{array}\right.$，
解得x=0或x=5，
即点D坐标为（5，4），
抛物线y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x-1的顶点坐标为（1，-$\frac{4}{3}$）
点C（0，-1）关于直线x=1的对称点E坐标为（2，-1），
如图，当点P位于点C处时，四边形APBD的面积为S=S_△ACB+S_△ABD=$\frac{1}{2}$×4×1+$\frac{1}{2}$×4×4=10，
当点P位于顶点坐标处时，四边形APBD的面积为S=S_△APB+S_△ABD=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{4}{3}$+$\frac{1}{2}$×4×4=$\frac{32}{3}$，
当点P位于点B处时，四边形APBD的面积为S=S_△ABD=$\frac{1}{2}$×4×4=8，
综上可知：当8＜S＜10时或S=$\frac{32}{3}$时，满足条件的点P只有一个；当10≤S＜$\frac{32}{3}$时，满足条件的点P有两个．