Question

13．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=7，CD=4，AD=2，在梯形中作一个矩形AEFG，使E在AB上，F在BC上，G在AD上．
（1）设EF=x，求△BEF的面积S；
（2）写出（1）中x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）如图，过点C作CM⊥AB于M，得到四边形AMCD是矩形，求得CM=AD=2，得到BM=AB-AM=-4=3，通过△BEF∽△BMC，根据相似三角形的性质得到$\frac{BE}{EF}=\frac{BM}{CM}$=$\frac{3}{2}$，求得BE=$\frac{3}{2}$x，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）由于AD=2，EF＜AD，于是得到x的取值范围是：0＜x＜2．

解答 解：（1）如图，过点C作CM⊥AB于M，
∵AB∥DC，∠A=90°，
∴四边形AMCD是矩形，
∴CM=AD=2，
∴AM=DC=4，
∴BM=AB-AM=-4=3，
∵EF∥CM，
∴△BEF∽△BMC，
∴$\frac{BE}{EF}=\frac{BM}{CM}$=$\frac{3}{2}$，
∴BE=$\frac{3}{2}$x，
∴△BEF的面积S=$\frac{1}{2}$BE•EF=$\frac{1}{2}•$$\frac{3}{2}$x•x=$\frac{3}{4}$x²；

（2）∵AD=2，EF＜AD，
∴x的取值范围是：0＜x＜2．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角形面积的求法，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．