Question

7．已知⊙O为△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D．
（1）如图1，求证：BD=ED；
（2）如图2，AO为⊙O的半径，若BC=6，sin∠BAC=$\frac{3}{5}$，求OE的长．

Answer 1

分析 （1）连接BE，由三角形的内心得出∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD，由圆周角定理得出∠DBC=∠CAD，得出∠DBC=∠BAD，再由三角形的外角性质得出∠DBE=∠DEB，即可得出结论．
（2）连接OB，由三角形的内心性质得出∠BAD=∠CAD，由圆周角定理得出$\widehat{BD}=\widehat{CD}$，由垂径定理得出BF=$\frac{1}{2}$BC=3，由圆周角定理得出∠BOD=2∠BAD=∠BAC，由三角函数得出OB=5，再由勾股定理求出OF，得出DF，再由勾股定理求出BD，得出ED，即可得出结果．

解答 （1）证明：连接BE，如图1所示：
∵E是△ABC的内心，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD，
∵∠DBC=∠CAD，
∴∠DBC=∠BAD，
∵∠DBE=∠DBC+∠CBE，∠DEB=∠BAD+∠ABE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴BD=ED；
（2）解：连接OB，如图2所示：
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，
∴$\widehat{BD}=\widehat{CD}$，
∴BF=$\frac{1}{2}$BC=3，∠BOD=2∠BAD=∠BAC，
∵AE过点O，
∴AD⊥BC，
∴∠EFB=90°，
∴sin∠BAC=sin∠BOD=$\frac{BF}{OB}$=$\frac{3}{5}$，
∴OB=5，
∴OD=5，
∴OF=$\sqrt{O{B}^{2}-B{F}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴DF=OD-OF=1，
∴BD=$\sqrt{B{F}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
由（1）得：ED=BD=$\sqrt{10}$，
∴OE=OD-ED=5-$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了三角形的内心性质、圆周角定理、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、勾股定理、垂径定理、三角函数等知识；本题有一定难度，特别是（2）中，需要运用垂径定理和两次运用勾股定理才能得出结果．