Question

19．如图，在正方形ABCD中，AE=AD，∠DAE=60°，BE交AC于点F．
（1）求证：AF+BF=EF；
（2）若AB=$\sqrt{6}$，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）在BE上取一点M，使得∠EAM=45°，只要证明△AEM≌△ABF，△AMF是等边三角形即可．
（2））连接BD交AC于N，在RT△NBF中利用30度性质即可解决问题．

解答 解：（1）在BE上取一点M，使得∠EAM=45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AE=BC，∠CAD=∠CAB=45°，∠BAD=90°，
∵∠EAB=150°，
∵AE=AB，
∴∠AEB=∠ABE=15°，
在△AEM和△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEM=∠ABF}\\{∠EAM=∠BAF}\\{AE=AB}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△ABF，
∴AM=AF，EM=FB，
∵∠MAF=∠EAB-∠EAM-∠BAF=60°，
∴△AMF是等边三角形，
∴AF=MF，
∴EF=EM+MF=BF+AF．
（2）连接BD交AC于N．
∵AB=$\sqrt{6}$，四边形ABCD是正方形，
∴BN=AN=$\sqrt{3}$，
在RT△NBF中，∵BN=$\sqrt{3}$，∠BFN=∠AFM=60°，
∴FN=1，BF=2，AF=AN-FN=$\sqrt{3}-1$，
∵EF=EM+MF=BF+AF=2+$\sqrt{3}-1$=1+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．