Question

16．如图，已知A（-2，4）和B（1，0）都在抛物线$y=-\frac{4}{3}{x^2}-\frac{8}{3}x+4$
上，向右平移该抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，且四边形AA′B′B为菱形．
（1）求A′、B′的坐标；
（2）求平移后的抛物线的表达式；
（3）设平移后的抛物线的对称轴交直线AB′于点C，点D在x轴上，当△B′CD与△ABC相似时，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）设抛物线向右平移了m个单位长度，用含m的代数式表示出A′和B′的坐标，根据菱形的判定定理可知BB′=AB，解出m的值，再代入A′和B′的坐标中即可；
（2）将平移前的抛物线的表达式变形成顶点式，由平移的性质可知，只对称轴在变，结合（1）的平移距离，即可得出结论；
（3）由A、B′的坐标找出直线AB′的表达式，结合平移后抛物线的对称轴可得出C点的坐标，由AB=BB′可知∠BAC=∠CB′D，根据相似三角形的性质可得出比例关系$\frac{B′C}{AB}=\frac{B′D}{AC}$或$\frac{B′C}{AC}=\frac{B′D}{AB}$，由两点间的距离公式可得出AC、B′C的长度，从而可得出B′D的长度，结合B′坐标即可得出D点坐标．

解答 解：（1）设抛物线向右平移了m个单位长度，
则A′（m-2，4），B′（m+1，0）．
∵四边形AA′B′B为菱形，
∴AB=BB′，
∵A（-2，4），B（1，0），
由两点间的距离公式可知：AB=$\sqrt{[1-（-2）]^{2}+（0-4）^{2}}$=5，BB′=m，
∴m=5，m-2=3，m+1=6．
故点A′的坐标为（3，4），点B′的坐标为（6，0）．
（2）平移前抛物线表达式为y=-$\frac{4}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x+4=-$\frac{4}{3}$（x+1）²+$\frac{16}{3}$，
其对称轴为x=-1，
平移后抛物线的对称轴为x=-1+5=4，
∴平移后的抛物线的表达式为y=-$\frac{4}{3}（x-4）^{2}+\frac{16}{3}$．
（3）依照题意画出图形，如图所示．

设直线AB′的表达式为y=kx+b，
∵点A（-2，4），点B′（6，0），
∴有$\left\{\begin{array}{l}{4=-2k+b}\\{0=6k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$．
∴直线AB′的表达式为y=-$\frac{1}{2}$x+3．
令x=4，则y=-$\frac{1}{2}$×4+3=1，
即点C的坐标为（4，1）．
由两点间的距离公式可知：AC=$\sqrt{[4-（-2）]^{2}+（1-4）^{2}}$=3$\sqrt{5}$，B′C=$\sqrt{（6-4）^{2}+（0-1）^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∵AB=BB′=5，
∴∠BAC=∠CB′D，
∴△B′CD与△ABC相似有两种情况．
①当△B′CD∽△ABC时，$\frac{B′C}{AB}=\frac{B′D}{AC}$．
∴B′D=$\frac{B′C•AC}{AB}$=3，
又∵点B′坐标为（6，0），
∴点D的坐标为（3，0）；
②当△B′DC∽△ABC时，$\frac{B′C}{AC}=\frac{B′D}{AB}$，
∴B′D=$\frac{B′C•AB}{AC}$=$\frac{5}{3}$，
又∵点B′坐标为（6，0），
∴点D的坐标为（$\frac{13}{3}$，0）．
综上所述：点D的坐标为（3，0）或（$\frac{13}{3}$，0）．

点评 本题考查了二次函数的应用、相似三角形的性质．两点间的距离公式以及平移的性质，解题的关键：（1）得出关于平移m的一元一次方程；（2）找出平移后抛物线的对称轴；（3）根据相似三角形的性质求出B′D的长度．本题属于中档题，难度不大，解决该类题型题目时，根据题意画出图形，数形结合才能更便捷的解决问题．