Question

12．某商场秋季计划购进一批进价为每条40元的围巾进行销售：
探究：根据销售经验，应季销售时，若每条围巾的售价为60元，则可售出400条；若每条围巾的售价每提高1元，销售量相应减少10条．
（1）假设每条围巾的售价提高x元，那么销售每条围巾获得的利润是20+x，销售量是400-10x（用含x的代数式表示）
（2）设应季销售利润为y元，请写y与x的函数关系式：并求出应季销售利润为8000元时每条围巾的售价．
拓展：根据销售经验，过季处理时，若每条围巾的售价定为30元亏本销售，可售出50条；若每条围巾的售价每降低1元，销售量相应增加5条．
（1）若剩余100条围巾需要处理，经过降价处理后还是无法销售的只能积压在仓库，损失本金；若是亏损金额最小，每条围巾的售价应是20元．
（2）若过季需要处理的围巾共m条，且100≤m≤300，过季亏损金额最小是40m-2000元（用含M的代数式表示）
延伸：若商场共购进了500条围巾且销售情况满足上述条件，如果应季销售利润在不低于8000元的情况下：
（1）没有售出的围巾共m条，则m的取值范围是：100≤m≤300
（2）要使最后的总利润（销售利润=应季销售利润-过季亏损金额）最大，则应季销售的售价是60元．
参考公式：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$）

Answer 1

分析 探究：（1）每条围巾获得的利润=实际售价-进价，销售量=售价为60元时销售量-因价格上涨减少的销售量；
（2）根据：销售利润=单件利润×销售量可列函数解析式，并求y=8000时x的值；
拓展：（1）根据：亏损金额=总成本-每件围巾的售价×销售量，列出函数关系式，配方后可得最值情况；
（2）根据与（1）相同的相等关系列函数关系式配方可得最大值；
延伸：（1）根据0≤x≤20可得销售量200≤400-10x≤400，进而可得没有售出的围巾100≤m≤300；
（2）先表示出亏损的最小金额，然后根据：销售利润=应季销售利润-过季亏损金额列出函数关系式配方，结合x的取值范围确定最值情况．

解答 解：探究：
（1）每个围巾所获得的利润是（20+x）元，
这种围巾的销售量是（400-10x）个．
（2）设应季销售利润为y元．
由题意得：y=（20+x）（400-10x）=-10x²+200x+8000
把y=8000代入，得-10x²+200x+8000=8000 
解得x₁=0，x₂=20； 
围巾的售价为60元或80元．  
拓展：
（1）设过季处理时亏损金额为y₂元，单价降低z元．
由题意得：y₂=40×100-（30-z）（50+5z），
y₂=5（z-10）²+2000； 
z=10时亏损金额最小为2000元，此时售价为30-10=20（元/件）
（2）y₂=40m-（30-z）（50+5z），
y₂=5（z-10）²+40m-2000； 
延伸：（1）m的取值范围是：100≤m≤300  
（2）因为m=500-（400-10x）=100+10x，且100≤m≤300 
所以亏损的最小金额为40（100+10x）-2000=2000+400x元 
设总利润为w，
W=（20+x）（400-10x）-（2000+400x）=-10（x+10）²+7000 
因为0≤x≤20，
所以当x=0时，即售价为60元/条，总利润w有最大值6000元．
故答案为：探究：（1）20+x，400-10x；拓展：（1）20；（2）40m-2000；延伸：（1）100≤m≤300；（2）60．

点评 本题主要考查二次函数的应用，解决本题的关键是在不同情形下理清数量关系、紧扣相等关系列出函数解析式，根据解析式结合自变量取值范围求函数最值是根本技能．