Question

2．如图，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点P是BC上的一个动点，连接AP，把△PAB沿着AP翻折到△PB′C（点B′在矩形的内部），连接B′C，B′D．点P在整个运动过程中，若存在唯一的位置使得△B′CD为直角三角形，则a，b之间的数量关系是b=$\sqrt{2}$a．

Answer 1

分析 如图，以CD为直径作⊙O，当点A到⊙O的最小距离等于AB时，使得△B′CD为直角三角形且唯一，在Rt△ADC中，根据AD²+OD²=OA²，可得b²+（$\frac{1}{2}a$）²=（a+$\frac{1}{2}$a）²，即可推出b=$\sqrt{2}$a．

解答 解：如图，以CD为直径作⊙O，当点A到⊙O的最小距离等于AB时，使得△B′CD为直角三角形且唯一，
在Rt△ADC中，∵AD²+OD²=OA²，
∴b²+（$\frac{1}{2}a$）²=（a+$\frac{1}{2}$a）²，
整理得b²=2a²，
∵a＞0，b＞0，
∴b=$\sqrt{2}$a．

点评 本题考查翻折变换、矩形的性质、点与圆的位置关系、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用辅助圆，寻找满足条件的图形，学会用方程的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．