Question

14．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，E、F分别是AB、CD的中点，P是AD上一点，∠PFB=3∠FBC，则线段PD的长度$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 如图，连接AF．首先证明PA=PF，设PA=PF=x，在Rt△PDF中，利用勾股定理，构建方程即可解决问题．

解答 解：如图，连接AF．

∵四边形ABCD是矩形，AE=EB，DF=FC，
∴四边形AEFD、四边形BCFE都是矩形，
∴∠AEF=90°，
∴EF⊥AB，∵AE=EB，
∴FA=FB，∠AFE=∠EFB，
∵EF∥BC∥AD，
∴∠EFB=∠FBC，∠DAF=∠AFE，
∵∠PFB=3∠FBC，
∴∠PFA=∠PAF，
∴PA=PF，设PA=PF=x，
在Rt△PDF中，∵PF²=PD²+DF²，
∴x²=（3-x）²+1²，
∴x=$\frac{5}{3}$，
∴PD=3-x=$\frac{4}{3}$，
故答案为$\frac{4}{3}$

点评 本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是证明△PAF是等腰三角形，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．