Question

11．如图1，在正方形ABCD中，点O是其几何中心（正方形的两条对角线的交点），∠MON=45°．
（1）如图1，当点M在BC边上，ON与DC的延长线交于N点，写出BM，MN，CN之间的数量关系并证明你的结论；
（2）如图2，当点M在BC边上，ON与CD交于N点，写出BM，MN，CN之间的数量关系并证明你的结论；
（3）在（2）中，若正方形ABCD的边长为4，MC=1，求CN的长．

Answer 1

分析 （1）结论：MN=BM+CN．在CD上取一点G，使得CG=BM，只要证明△OBM≌△OCG，△ONM≌△ONG即可解决问题．
（2）结论：MN=BM-CN．在CD上取一点G，使得CG=BM，只要证明△OBM≌△OCG，△ONM≌△ONG即可解决问题．
（3）设CN=x，由CM=1，BC=4，推出BM=3．由BM=CN+MN，推出MN=3-x，在Rt△MNC中，根据MN²=CN²+CM²，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）结论：MN=BM+CN．

理由：在CD上取一点G，使得CG=BM．
在△OBM和△OCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{∠OBM=∠OCG}\\{BM=CG}\end{array}\right.$，
∴△OBM≌△OCG，
∴OM=OG，∠BOM=∠COG，
∵∠MON=45°，∠BOC=90°，
∴∠BOM+∠CON=∠CON+∠COG=45°，
∴∠NOM=∠NOG=45°，∵ON=ON，
∴△ONM≌△ONG，
∴NM=GN，
∵NG=CN+CG=CN+BM，
∴MN=BM+CN．
（2）结论：MN=BM-CN．

理由：在CD上取一点G，使得CG=BM．
在△OBM和△OCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{∠OBM=∠OCG}\\{BM=CG}\end{array}\right.$，
∴△OBM≌△OCG，
∴OM=OG，∠BOM=∠COG，
∴∠BOC=∠MOG=90°
∴∠NOM=45°，

∴∠NOG=45°
∴∠NOM=∠NOG，∵ON=ON，
∴△ONM≌△ONG，
∴NM=GN，
∵NG=CG-CN=BM-CN，
∴MN=BM-CN．

（3）设CN=x，
∵CM=1，BC=4，
∴BM=3．
∵BM=CN+MN，
∴MN=3-x，
在Rt△MNC中，∵MN²=CN²+CM²，
∴（3-x）²=x²+1²，
∴x=$\frac{4}{3}$，
∴CN=$\frac{4}{3}$

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．