Question

17．某校八年级举行演讲比赛，购买A，B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别为12元和8元．根据比赛设奖情况，需购买两种笔记本共30本，并且购买A笔记本的数量要少于B笔记本数量的$\frac{2}{3}$，但又不少于B笔记本数量的$\frac{1}{3}$．设买A种笔记本n本，买两种笔记本的总费用为W元．
（1）请写出W（元）关于n（本）的函数关系式，并求出自变量n的取值范围．
（2）购买这两种笔记本各多少本时，花费最少？此时的花费是多少元？

Answer 1

分析 （1）根据题意可以求得w关于n的函数关系式，由购买A笔记本的数量要少于B笔记本数量的$\frac{2}{3}$，但又不少于B笔记本数量的$\frac{1}{3}$，可以确定n的取值范围；
（2）根据（1）中的函数关系式可以求得w的最小值及此时购买的A和B种两种笔记本的数量．

解答 解：（1）依题意得：w=12n+8（30-n）
即w=4n+240
且n＜$\frac{2}{3}$（30-n）和n≥$\frac{1}{3}$（30-n）
解得$\frac{15}{2}$≤n＜12
所以，w（元）关于n（本）的函数关系式为：w=4n+240
自变量n的取值范围是$\frac{15}{2}$≤n＜12，n为整数；

（2）对于一次函数w=4n+240
∵w随n的增大而增大，且$\frac{15}{2}$≤n＜12，n为整数
故当n为8时，w的值最小
此时，30-n=30-8=22，w=4×8+240=272（元）
因此，当买A种笔记本8本、B种笔记本22本时，所花费用最少，为272元．

点评 本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用．此题利用了（总花费=A种笔记本的单位价×A的数量+B种笔记本的单位价×B的数量），还用到了解不等式组以及一次函数的有关性质（当k＞0时，y随x的增大而增大）．