Question

1．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，点A，B，C的坐标分别为（0，1），（1，-1），（5，1）
（1）判断△ABC的形状；
（2）将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A₁B₁C，请在网格中画出△A₁B₁C，并直接写出点A₁和B₁的坐标；
（3）将△ABC绕线段AC所在直线旋转一周，求所得几何体的表面积．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可判断△ABC的形状；
（2）根据图形旋转的性质画出图形，写出点A₁和B₁的坐标即可；
（3）所得几何体的表面积为底面半径为2，母线长为$\sqrt{5}$的圆锥侧面积与底面半径为2，母线长为2$\sqrt{5}$的圆锥侧面积的和．

解答 解：（1）∵AB=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，AC=5，
（$\sqrt{5}$）²+（2$\sqrt{5}$）²=5²，
在△ABC中，AB²+BC²=AC²，
∴△ABC的形状是直角三角形；    

（2）如图，△A₁B₁C即为所求．

由图可知，A₁（5，6），B₁（3，5）；

（3）∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，AC=5，所得两个圆锥的底面半径都为2，
∴几何体的表面积=π×2×$\sqrt{5}$+π×2×2$\sqrt{5}$=6$\sqrt{5}$π．
故所得几何体的表面积为6$\sqrt{5}$π．

点评 本题考查的是作图-旋转变换，圆锥侧面积的计算，关键是熟知图形旋转不变性的性质，圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2的知识点．