题目内容

16．菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，对角线AC，BD相交于点O，动点P在线段AC上从点A向点C运动，过P作PE∥AD，交AB于点E，过P作PF∥AB，交AD于点F，四边形QHCK与四边形PEAF关于直线BD对称．设菱形ABCD被这两个四边形盖住部分的面积为S1，AP=x：
（1）对角线AC的长为2$\sqrt{3}$；S菱形ABCD=2$\sqrt{3}$；
（2）用含x的代数式表示S1；
（3）设点P在移动过程中所得两个四边形PEAF与QHCK的重叠部分面积为S2，当S2=$\frac{1}{2}$S菱形ABCD时，求x的值．

分析 （1）根据菱形的性质得出AB=AD=2，BO=DO，AC⊥BD，求出△ABD是等边三角形，推出BD=AB=2，根据勾股定理求出AO，即可得出答案；
（2）①当0≤x≤$\sqrt{3}$时，求出两个菱形的面积，即可得出答案；②当$\sqrt{3}$＜x≤2$\sqrt{3}$时，S1等于大菱形ABCD减去未被遮盖的两个小菱形，求出两个小菱形的面积即可；
（3）当$\sqrt{3}$＜x≤2$\sqrt{3}$时，有重叠，列出方程，求出方程的解即可．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=2，BO=DO，AC⊥BD，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=2，
∴OB=OD=1，
由勾股定理得：AO=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴AC=2$\sqrt{3}$，
S菱形ABCD=$\frac{1}{2}$BD×AC=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
故答案为：2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$；

（2）根据题设可知四边形PEAF是菱形，有一个角是60°，菱形的较短对角线与边长相等，
①当0≤x≤$\sqrt{3}$时，如图1，连接EF交AP于M，
∵AP=x，PE∥AD，PF∥AB，
∴AEPF是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC=∠DAC，
∵PE∥AD，
∴∠EPA=∠DAC，
∴∠EPA=∠BAC，
∴AE=PE，
∴四边形AEPF是菱形，
∵四边形AEPF和四边形CHQK关于BD对称，
∴四边形CHQK也是菱形，
∴EM=FM，AM=PM，AE=AF，
∵∠BAC=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AP⊥EF，
∵∠BAC=∠DAC=30°，AM=$\frac{1}{2}$AP=$\frac{1}{2}$x，
∴EM=AM×tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{6}$x，AE=2EM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
S菱形PEAF=$\frac{1}{2}$AP•EF=$\frac{1}{2}$x•$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=$\frac{\sqrt{3}}{6}$x2，
∴S1=2S菱形PEAF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x2；

②当$\sqrt{3}$＜x≤2$\sqrt{3}$时，如图2，
∵S1等于大菱形ABCD减去未被遮盖的两个小菱形，
由菱形PEAF的边长AE为$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴BE=2-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴S菱形BEMH=2×$\frac{\sqrt{3}}{4}$（2-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x）2=$\frac{\sqrt{3}}{6}$x2-2x+2$\sqrt{3}$，
∴S1=2$\sqrt{3}$-2S菱形BEMH=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x2+4x-2$\sqrt{3}$，
即S1=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x2+4x-2$\sqrt{3}$，
∴S1=$\left\{\begin{array}{l}{{\frac{\sqrt{3}}{3}x}^{2}（0≤x≤\sqrt{3}）}\\{-\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}+4x-2\sqrt{3}（\sqrt{3}＜x≤2\sqrt{3}）}\end{array}\right.$；


（3）∵有重叠，
∴当$\sqrt{3}$＜x≤2$\sqrt{3}$，此时OP=x-$\sqrt{3}$，
∴重叠菱形QMPN的边长MP=MN=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-2，
∴S2=$\frac{1}{2}$PQ•MN=$\frac{1}{2}$×2（x-$\sqrt{3}$）（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-2）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x2-4x+2$\sqrt{3}$，
令$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x2-4x+2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
解得：x=$\sqrt{3}$±$\frac{\sqrt{6}}{2}$，符合题意的是x=$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查了勾股定理，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定，解直角三角形的应用，能综合运用知识点进行计算是解此题的关键，题目综合性比较强，难度偏大，用了分类讨论思想．

练习册系列答案
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