Question

12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由AD与BC平行，且DE垂直于BC，得到DE垂直于AD，由G为AF的中点，即DG为斜边AF的中线，得到DG=AG=FG=3，利用等边对等角得到一对角相等，再由∠DGC为三角形ADG的外角，利用外角性质得到∠DGC=2∠GAD，再由两直线平行内错角相等得到∠GAD=∠ACB，设∠ACB=α，则有∠ACD=2α，进而得到∠DGC=∠DCG，利用等角对等边得到DG=DC，求出DC的长，在直角三角形DEC中，利用勾股定理求出DE的长即可．

解答 解：∵AD∥BC，DE⊥BC，
∴AD⊥DE，
∵G为AF的中点，即DG为斜边AF的中线，
∴DG=AG=FG=3，
∴∠GAD=∠GDA，
∵AD∥BC，
∴∠GAD=∠ACB，
设∠ACB=α，则∠ACD=2α，
∵∠GAD=∠GDA=α，
∴∠DGC=2α，即∠ACD=∠DGC，
∴DG=DC=3，
在Rt△DEC中，DC=3，EC=1，
根据勾股定理得：DE=$\sqrt{D{C}^{2}-E{C}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
故答案为：2$\sqrt{2}$

点评 此题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，以及直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．