Question

15．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，且AB=2$\sqrt{2}$，DE=2-$\sqrt{2}$．
（1）求⊙O的直径．
（2）过点B作⊙O的切线BF，交CD的延长线于点F，求OF的长．

Answer 1

分析 （1）连结OB，如图，设⊙O的半径为r，根据垂径定理得到AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{2}$，再利用勾股定理得[r-（2-$\sqrt{2}$）]²+（$\sqrt{2}$）²=r²，然后解方程求出r即可得到⊙O的直径；
（2）先利用切线的性质得到∠OBF=90°，再证明Rt△OBE∽Rt△OFB，然后利用相似比可计算出OF的长．

解答 解：（1）连结OB，如图，设⊙O的半径为r，
∵AB⊥CD，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{2}$，
在Rt△OBE中，∵OE=r-（2-$\sqrt{2}$），OB=r，BE=$\sqrt{2}$，
∴[r-（2-$\sqrt{2}$）]²+（$\sqrt{2}$）²=r²，解得r=2，
∴⊙O的直径为4；
（2）∵BF为切线，
∴OB⊥BF，
∴∠OBF=90°，
∵∠BOE=∠FOB，
∴Rt△OBE∽Rt△OFB，
∴$\frac{OB}{OF}$=$\frac{OE}{OB}$，即$\frac{2}{OF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴OF=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．解决（1）小题的关键是利用勾股定理建立关于r的方程求r．