Question

5．如图，正方形ABCD的边长为6，以D为圆心，DA为半径作⊙D，E在AB上，EF切⊙D于G，交BC于F．
（1）若AE=2．求证：BF=CF；
（2）若CF=2，FE的延长线交直线A于H，求DH的长．

Answer 1

分析 （1）利用切线长定理得到EG=EA=2，FG=FC，设FC=x，则GF=x，BF=6-x，则在Rt△BEF中，利用勾股定理得到4²+（6-x）²=（2+x）²，解得x=3，于是可判断BF=CF；
（2）用同样方法就是出AE=3，再证明△AEH∽△BEF，通过相似比计算出AH=4，然后计算AH+DA即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=∠BCD=∠B=90°，BA=BC=6，
∴BA和BC与⊙D相切，
∵EF切⊙D于G，
∴EG=EA=2，FG=FC，
设FC=x，则GF=x，BF=6-x，
在Rt△BEF中，∵BE²+BF²=EF²，
∴4²+（6-x）²=（2+x）²，解得x=3，
∵BF=6-x=3，CF=3，
∴BF=CF；
（2）解：∵CF=2，
∴BF=4，
设AE=t，则EG=t，BE=6-t，
在Rt△BEF中，∵BF²+BE²=EF²，
∴4²+（6-t）²=（2+t）²，解得t=3，
∴AE=3，
∵AH∥BF，
∴△AEH∽△BEF，
∴AH：BF=AE：BE，即AH：4=3：3，
∴AH=4，
∴DH=AH+DA=10．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．解决本题的关键是利用切线长定理得到EA=EG，FC=FG．