Question

已知：梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，∠ACB=30°，DE⊥BC，DE=

2

．
（1）求BD、AC的长；
（2）求S_梯形ABCD=？

Answer 1

考点：梯形,含30度角的直角三角形,勾股定理,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）过A作AF⊥BC，由题意可知四边形AFED是矩形，在直角三角形AFC中利用30°角即可求出AC的长，在直角三角形BED中利用勾股定理即可求出BD的长；
（2）由（1）中的数据利用梯形的面积公式即可求出S_梯形ABCD的值．

解答：解（1）过A作AF⊥BC，
∵DE⊥BC，AD∥BC，
∴四边形AFED是矩形，
∴AF=DE=

2

，
∵∠B=30°，
∴AC=2AF=2

2

，
∵∠DBC=45°，DE⊥BC，
∴∠DBC=∠BDE=45°，
∴BE=DE=

2

，
在直角三角形BED中，BD=

BE2+DE2

=2，
答：BD、AC的长分别是2，2

2

；
（2）∵AF=

2

，∠ABC=60°，
∴tan60°=

AF

BF

=

3

，
∴BF=

2

3

=

6

3

，
∴EF=BE-BF=

2

-

6

3

，
∴AD=EF=

2

-

6

3

∵AC=2

2

，AF=

2

，
∴CF=

6

，
∴BC=BF+CF=

6

3

+

6

=

4 6

3

．
∴S_梯形ABCD=

(AD+BC)×DE

2

=

3

+1．

点评：本题考查了梯形的性质、矩形的判定和性质以及勾股定理和梯形的面积公式的运用，题目的综合性比较强．