题目内容
如图，矩形ABCD中，AB=12，BC=4
，点O是AB的中点．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线OB匀速运动，点E、F同时出发，当点E到达点B时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF
为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线AB的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．
（1）当等边△EFG的顶点G恰好落在CD上时，求运动时间t的值；
（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．
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为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线AB的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）当等边△EFG的顶点G恰好落在CD上时，求运动时间t的值；
（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．
考点：相似形综合题
专题：
分析：（1）当等边△EFG的顶点G恰好落在CD上时，OG=BC，根据直角三角形性质可得EO=4，即可求得t值；
（2）按照等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的图形特点，分为0≤t＜4，4≤t＜6，6≤t＜10，10≤t＜14，14≤t＜18五种情况，分别写出函数关系式；
（3）存在．当△AOH是等腰三角形时，分为AH=AO=3，HA=HO，OH=OA三种情况，分别画出图形，根据特殊三角形的性质，列方程求t的值．
（2）按照等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的图形特点，分为0≤t＜4，4≤t＜6，6≤t＜10，10≤t＜14，14≤t＜18五种情况，分别写出函数关系式；
（3）存在．当△AOH是等腰三角形时，分为AH=AO=3，HA=HO，OH=OA三种情况，分别画出图形，根据特殊三角形的性质，列方程求t的值．
解答：解：（1）当等边△EFG的顶点G恰好落在CD上时，
∵点O是EF的中点
∴OG=BC=4
，
∵在△EOG中，∠EGO=30°，
∴
=
，
∴EO=4
∴t=4s时，等边△EFG的顶点G恰好落在CD上．
（2）①当点G在矩形ABCD内部及在边长CD上这段时间，即t在0-4s，重叠部分的面积为△EFG的面积，
设△EFG的高为h，
根据已知可得，EF=2t，h=
t，
故S△GEF=
•EF•h=
2t•（
t）=
t2，（0≤t＜4），
②如图1，当点G在矩形ABCD外部，点E运动到点A这段时间，即t在4-6s（AO=6
），
设EG、FG分别与CD交于点M，N，△GMN的高为h1，
则h1=h-BC=
t-4
，
易得△GMN∽△GEF，
∴
=
∴S△GMN=
t2•
=
（t-4）2，
∴S四边形EMNF=S△GEF-S△GMN=
t2-
（t-4）2=8
t-16
，（4≤t＜6），
③当点E到达A点时，F正好在B点，此时等边△GEF图形不再变化，保持向右平移，故重叠面积仍
为S五边形EMNPB，直到点N与C点重合，如图2．
设FG与BC交于点P，EF中点为O′，△GMN中的高为h2，连接O′G，
∵在等边△EFG中，EF=12，
∴O′F=6，GO′=6
，
∵在Rt△BPF中，∠BPF=∠O′GF=30°，
∴
=
，
∵BF=AE=t-6，
∴PB=
（t-6），
∵h2=GO′-BC=6
-4
=2
，
∴MN=4，
∴S=S梯形EMNF-S△BPF=
•（4+12）•4
-
•（t-6）•
（t-6）=-
t2+6
t+14
当点N与C点重合时，PB=BC，
即：4
=
（t-6），
∴t=10s，
故6≤t＜10，重叠面积为=-
t2+6
t+14
④点E继续移动，点M与点C重合前这段时间，重叠面积为S四边形EBCM，如图3，
当点M与点C重合时，EB=4，AE=8，
运动总时间为8+6=14s
即10≤t＜14，
由图可知，EB=t-10，
易得等边△GCM的高为2
，
即CM=4，
故S四边形EBCM=
•（4+t-10）•4
=2
t-12
（10＜t≤14），
⑤点E继续移动，重叠面积为S△EBQ，直到点E与点B重合，设EG与BC相交于点Q，
EB=t-14，易得EQ=
（t-14），
S△EBC=
•（t-14）•
（t-14）=
（t-14）2，（14≤t＜18），
综上所述，S=
．
（3）存在．理由如下：
在Rt△ABC中，tan∠CAB=
=
，
∴∠CAB=30°，
又∵∠HEO=60°，
∴∠HAE=∠AHE=30°，
∴AE=HE=6-t或t-6，
①当AH=AO=6时，（如图4），过点E作EI⊥AH于I，
则AI=
AH=3，
在Rt△AIE中，cos∠IAE=
，
即cos30°=
，
∴AE=2
，即6-t=2
或t-6=2
，
∴t=6-2
或6+2
，
②当HA=HO时，（如图5）则∠HOA=∠HAO=30°，
又∵∠HEO=60°，
∴∠EHO=90°，EO=2HE=2AE，
又∵AE+EO=6，
∴AE+2AE=6，AE=2，
即6-t=2或t-6=2，
∴t=4s或t=8s；
③当OH=OA时，则∠OHA=∠OAH=30°，
∴∠HOB=60°=∠HEB，
∴点E和点O重合，
∴AE=AO=6，
∴t=6+6=12s；
综上所述，存在5个这样的t值，使△AOH是等腰三角形，即t=6-2
或6+2
或t=4或t=8或t=12．
∵点O是EF的中点
∴OG=BC=4
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∵在△EOG中，∠EGO=30°，
∴
| EO |
| GO |
| 1 | ||
|
∴EO=4
∴t=4s时，等边△EFG的顶点G恰好落在CD上．
（2）①当点G在矩形ABCD内部及在边长CD上这段时间，即t在0-4s，重叠部分的面积为△EFG的面积，
设△EFG的高为h，
根据已知可得，EF=2t，h=
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故S△GEF=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
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②如图1，当点G在矩形ABCD外部，点E运动到点A这段时间，即t在4-6s（AO=6
），设EG、FG分别与CD交于点M，N，△GMN的高为h1，
则h1=h-BC=
| 3 |
| 3 |
易得△GMN∽△GEF，
∴
| S△GMN |
| S△GEF |
| h12 |
| h2 |
∴S△GMN=
| 3 |
(
| ||||
(
|
| 3 |
∴S四边形EMNF=S△GEF-S△GMN=
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| 3 |
| 3 |
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③当点E到达A点时，F正好在B点，此时等边△GEF图形不再变化，保持向右平移，故重叠面积仍
为S五边形EMNPB，直到点N与C点重合，如图2．设FG与BC交于点P，EF中点为O′，△GMN中的高为h2，连接O′G，
∵在等边△EFG中，EF=12，
∴O′F=6，GO′=6
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∵在Rt△BPF中，∠BPF=∠O′GF=30°，
∴
| BF |
| PB |
| 1 | ||
|
∵BF=AE=t-6，
∴PB=
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∵h2=GO′-BC=6
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∴MN=4，
∴S=S梯形EMNF-S△BPF=
| 1 |
| 2 |
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| 1 |
| 2 |
| 3 |
| ||
| 2 |
| 3 |
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当点N与C点重合时，PB=BC，
即：4
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∴t=10s，
故6≤t＜10，重叠面积为=-
| ||
| 2 |
| 3 |
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④点E继续移动，点M与点C重合前这段时间，重叠面积为S四边形EBCM，如图3，
当点M与点C重合时，EB=4，AE=8，
运动总时间为8+6=14s
即10≤t＜14，
由图可知，EB=t-10，
易得等边△GCM的高为2
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即CM=4，
故S四边形EBCM=
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⑤点E继续移动，重叠面积为S△EBQ，直到点E与点B重合，设EG与BC相交于点Q，
EB=t-14，易得EQ=
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S△EBC=
| 1 |
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| ||
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综上所述，S=
|
（3）存在．理由如下：
在Rt△ABC中，tan∠CAB=
| BC |
| AB |
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∴∠CAB=30°，
又∵∠HEO=60°，
∴∠HAE=∠AHE=30°，
∴AE=HE=6-t或t-6，
①当AH=AO=6时，（如图4），过点E作EI⊥AH于I，
则AI=
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在Rt△AIE中，cos∠IAE=
| AI |
| AE |
即cos30°=
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| AE |
∴AE=2
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∴t=6-2
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②当HA=HO时，（如图5）则∠HOA=∠HAO=30°，
又∵∠HEO=60°，
∴∠EHO=90°，EO=2HE=2AE，
又∵AE+EO=6，
∴AE+2AE=6，AE=2，
即6-t=2或t-6=2，
∴t=4s或t=8s；
③当OH=OA时，则∠OHA=∠OAH=30°，
∴∠HOB=60°=∠HEB，
∴点E和点O重合，
∴AE=AO=6，
∴t=6+6=12s；
综上所述，存在5个这样的t值，使△AOH是等腰三角形，即t=6-2
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点评：本题考查了特殊三角形、矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的有关知识．关键是根据特殊三角形的性质，分类讨论．
练习册系列答案
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已知：梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，∠ACB=30°，DE⊥BC，DE=若a＞0，b＜0，c＜0，则方程ax2+bx+c=0的根的情况为（ ）
| A、有两个同号的实数根 |
| B、有两个异号的实数根，且负根的绝对值大 |
| C、有两个异号的实数根，且正根的绝对值大 |
| D、无实数根 |
如图正方形ABCD中，AB=1，AE平分∠BAC，EF⊥AC，F为垂足，则BE=
如图，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别是A（-2，0）、B（0，-4），反比例函数y=