Question

已知抛物线y=x²-（m+6）x+m+5．
（1）求证：无论m取什么实数，抛物线与x轴必有交点，且过x轴上一定点；
（2）当抛物线与x轴相交于A，B两不同点时，设其顶点为M，若△MAB是等腰直角三角形，求m的值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）根据抛物线的表达式可化为交点式进而可求出抛物线和x轴有交点，解方程即可求出过x轴上一定点的坐标；
（2）由（1）可知A和B的坐标，把函数的表达式可化为顶点式进而可求出M点的坐标，因为△MAB是等腰直角三角形，所以MA=MB，进而可求出m的值．

解答：（1）证明：∵y=x²-（m+6）x+m+5=（x-1）（x-m-5）=0
得到x₁=1，x₂=m+5，
∴无论m取什么实数，抛物线与x轴必有交点，且过x轴上一定点（1，0）；
（2）解：A（1，0）B（m+5，0）（m+5≠1，即m≠-4）
y=[x-

1

2

（m+6）]²-

1

4

（m²+8m+16），
∴顶点M

1

2

（（m+6），-

1

4

（m²+8m+16），
∵抛物线关于对称轴对称，
∴MA=MB，
∵△MAB是等腰直角三角形，
∴

1

2

（m+4）²+

1

8

（m+4）⁴=（m+4）²，
∴

1

2

+

1

8

（m+4）²=1，
∴m=-2或-6．

点评：本题考查了抛物线于x轴交点的坐标，求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．