Question

2．已知抛物线：y=-$\frac{4}{9}$x²-$\frac{8}{9}$x+$\frac{32}{9}$与x轴交A、B两点（ 点A在点B的左边），顶点为C，若点P在抛物线的对称轴上，⊙P与x轴，直线BC都相切，求P点坐标．

Answer 1

分析 首先求出A、B、C坐标，由Rt△CHB∽Rt△CMP，列出方程即可解决问题，注意有两种情形．

解答 解：如图，令y=0
所以-$\frac{4}{9}$Zx²-$\frac{8}{9}$Zx+$\frac{32}{9}$=0
解得：x₁=-4；x₂=2
A（-4，0）；B（2，0），
顶点C（-1，4）
设抛物线的对称轴与X轴的交点为H，⊙P的半径为R
在Rt△CHB中∠CHB=90°；BH=3；CH=4
由勾股定理知：BC=5
作PM⊥BC于M，
∵∠HCB=∠PCM，∠CHB=∠PMC，
∴Rt△CHB∽Rt△CMP
∴$\frac{PM}{BH}$=$\frac{CP}{BC}$
①当点P 在X轴上方时$\frac{R}{3}$=$\frac{4-R}{5}$
R=$\frac{3}{2}$，P（-1，$\frac{3}{2}$）
②当点P 在X轴下方时$\frac{R}{3}$=$\frac{4+R}{5}$
R=6；所以P（-1，-6）
综上所述P（-1，$\frac{3}{2}$）或 P（-1，-6）．

点评 本题考查切线的性质、抛物线与x轴的交点，圆的有关知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．