Question

13．某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m．
（1）试判断△BCD的形状；
（2）若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？

Answer 1

分析 仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接BD，在直角三角形ABD中可求得BD的长，由BD、CD、BC的长度关系可得三角形DBC为一直角三角形，DC为斜边；由此看，四边形ABCD由Rt△ABD和Rt△DBC构成，则容易求解．

解答 （1）解：△BCD是直角三角形；理由如下：
∵∠A=90°，AB=3，AD=4，BC=12，
根据勾股定理得BD²=AB²+AD²=3²+4²=25，
∴BD²+BC²=25+144=169=13²=CD²，
根据勾股定理的逆定理，
∴∠CBD=90°
∴△BCD是直角三角形．      
（2）四边形ABCD的面积=${S_{△ABD}}+{S_{△BCD}}=\frac{1}{2}×3×4+\frac{1}{2}×5×12$=6+30=36m²       
∴学校要投入资金为：200×36=7200元；
答：学校需要投入7200元买草皮．

点评 本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单．