Question

12．如图，菱形ABCD中，AB=8，∠ABC=60°，E是CD的中点，在对角线AC有一动点P，在某个位置存在PD+PE的和最小，则这个最小值为4$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 首先连接BE，过点E作EF⊥BC于点F，由四边形ABCD是菱形，可得BE是PD+PE的和最小值，然后由菱形ABCD中，AB=8，∠ABC=60°，E是CD的中点，利用三角函数的知识即可求得CF与EF的长，再利用勾股定理求得BE的长．

解答 解：连接BE，过点E作EF⊥BC于点F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴点B，D关于AC对称，
∴BE是PD+PE的和最小值，
∵菱形ABCD中，AB=8，∠ABC=60°，
∴BC=CD=AB=8，AB∥CD，
∴∠ECF=∠ABC=60°，
∵E是CD的中点，
∴CE=$\frac{1}{2}$CD=4，
∴CF=CE•cos60°=4×$\frac{1}{2}$=2，EF=CF•sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴BF=BC+CF=10，
∴BE=$\sqrt{B{F}^{2}+E{F}^{2}}$=4$\sqrt{7}$．
即这个最小值为4$\sqrt{7}$．
故答案为：4$\sqrt{7}$．

点评 此题考查了最短路径问题、菱形的性质、勾股定理以及三角函数等知识．注意准确找到点P的位置是解此题的关键．