Question

如图：⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D．
（1）求证：△ABC∽△BDC．
（2）若AC=8cm，BC=6cm，求BD的长．

Answer 1

考点：切线的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）利用切线的性质和AB是直径可得出∠A=∠DCB，且都为直角三角形，可证得相似；
（2）由（1）中的结论可得到线段的比，再把数据代入即可求得BD．

解答：（1）证明：∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=∠DCB=90°，∠A+∠ABC=90°，
又∵DB是⊙O的切线，
∴∠ABC+∠DBC=90°，
∴∠A=∠DBC，
∴△ABC∽△BDC；
（2）在Rt△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，
∴AB=10cm
∵△ABC∽△BDC
∴

AC

BC

=

AB

BD

，
∴

8

6

=

10

BD

，
∴BD=7.5cm．

点评：本题主要考查圆的切线的性质及相似三角形的判定和性质，利用切线的性质得到角之间的关系是解题的关键．