如图1.正方形ABCD的边长为1.E为AB边上一动点.BE的长为x.连接DE.过B作BF∥DE交CD于点F.以CF为边作正方形CFMN.且点N在BC边的延长线．(1)求证:四边形BEDF为平行四边形,(2)连接DN.EN.且EN与BF交于点G．①判断△EDN的形状.并说明理由,②若点G为EN的中点.求x的值．(3)如图2.连接DE.DM.求当x为何值时.△EDM的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．如图1，正方形ABCD的边长为1，E为AB边上一动点，BE的长为x，连接DE，过B作BF∥DE交CD于点F，以CF为边作正方形CFMN，且点N在BC边的延长线．
（1）求证：四边形BEDF为平行四边形；
（2）连接DN，EN，且EN与BF交于点G．
①判断△EDN的形状，并说明理由；
②若点G为EN的中点，求x的值．
（3）如图2，连接DE、DM，求当x为何值时，△EDM的面积取得最小值，并求△EDM的面积最小值．

分析（1）如图1，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，证明四边形BEDF为平行四边形；
（2）①如图1，先证明△BCF≌△DCN，得BF=DN，由?BEDF，得DE=BF，则ED=DN，再证明Rt△ADE≌Rt△CDN，所以∠ADE=∠CDN，则△EDN是等腰直角三角形；
②如图2，作辅助线，表示出PG、BP、CF的长，利用平行证明△BPG∽△BCF，列式例式得：x=2$±\sqrt{2}$，并根据0＜x＜1，得出最后的值；
（3）如图3，作辅助线，根据所求三角形面积等于矩形面积减去两个小三角形面积和一个梯形面积得到关于x的二次函数表达式，求最值即可．

解答证明：（1）如图1，∵四边形ABCD为正方形，
∴AB∥CD，
∵DE∥BF，
∴四边形BEDF为平行四边形；
（2）①如图1，△EDN是等腰直角三角形，理由是：
∵四边形CFMN为正方形，
∴CF=CN，∠DCN=∠DCB=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=CD，
∴△BCF≌△DCN，
∴BF=DN，
∵四边形BEDF为平行四边形，
∴BF=ED，
∴ED=DN，
∵AD=DC，
∴Rt△ADE≌Rt△CDN，
∴∠ADE=∠CDN，
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠CDN+∠EDC=90°，
即∠EDN=90°，
∴△EDN是等腰直角三角形；
②过G作GP⊥BN于P，如图2，则PG∥BE，
∵BE=x，AE=1-x，
由①得：CN=AE=1-x，
∴BN=BC+CN=1+1-x=2-x，
∵G是EN的中点，
∴BP=$\frac{1}{2}$BN=$\frac{1}{2}$（2-x）=1-$\frac{x}{2}$，
∴PG=$\frac{1}{2}$EB=$\frac{x}{2}$，
∵PG⊥BC，DC⊥BC，
∴PG∥DC，
∴△BPG∽△BCF，
∴$\frac{BP}{BC}=\frac{PG}{CF}$，
∴$\frac{1-\frac{x}{2}}{1}$=$\frac{\frac{x}{2}}{1-x}$，
解得：x=2±$\sqrt{2}$，
∵0＜x＜1，且2+$\sqrt{2}$＞1，0＜2-$\sqrt{2}$＜1，
∴x=2-$\sqrt{2}$；
（3）延长AD、NM于K，
则S_△EDM=S_矩形ABNK-S_△ADE-S_△DKM-S_梯形EBNM，
=（2-x）•1-$\frac{1}{2}$（1-x）•1-$\frac{1}{2}$•x•（1-x）-$\frac{1}{2}$（1-x+x）（2-x），
=$\frac{1}{2}{x}^{2}$-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$，
=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{8}$，
∵$\frac{1}{2}$＜0，
∴△EDM的面积取得最小值，
∴当x=$\frac{1}{2}$时，△EDM的面积最小值是$\frac{3}{8}$．