题目内容
3．小明遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，AB=7，AC=5，点D为BC的中点，求AD的取值范围．
小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE=AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：（1）小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是：SAS（用字母表示）
（2）AD的取值范围是1＜AD＜6
小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG=2，BF=4，∠GEF=90°，求GF的长．
分析 （1）根据SAS即可证明△BED≌△CAD．
（2）在△ABE利用三边关系定理即可解决．
解决问题：延长GE交CB的延长线于M．只要证明△AEG≌△BEM，推出AG=CM=2，再根据线段的垂直平分线的性质，即可解决问题．
解答 解：（1）如图2中，延长AD到E，使DE=AD，连接BE．
在△BED和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠BDE=∠ADC}\\{ED=AD}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△CAD（SAS）．
（2）∵△BED≌△CAD，
∴BE=AC=5，∵AB=7，
∴2＜AE＜12，
∴2＜2AD＜12，
∴1＜AD＜6．
故答案分别为SAS，1＜AD＜6．
解决问题：如图3中，
解：延长GE交CB的延长线于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥CM，
∴∠AGE=∠M，
在△AEG和△BEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AGE=∠M}\\{∠AEG=∠MEB}\\{AE=BE}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△BEM，
∴GE=EM，AG=BM=2，
∵EF⊥MG，
∴FG=FM，
∵BF=4，
∴MF=BF+BM=2+4=6，
∴GF=FM=6．
点评 本题考查正方形的性质、三角形的中线、全等三角形的判定和性质、三角形三边关系定理等知识，具体的关键性学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
练习册系列答案
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| A． | -7 | B． | 5 | C． | -5 | D． | -13 |
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| A． | 有两个不相等的实数根 | B． | 有两个相等的实数根 | ||
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