Question

如图1，P（m，n）是抛物线y=

1

4

x²-1上任意一点，l是过点（0，-2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为H．
【特例探究】
（1）填空，当m=0时，OP=

 

，PH=

 

；当m=4时，OP=

 

，PH=

 

．
【猜想验证】
（2）对任意m，n，猜想OP与PH大小关系，并证明你的猜想．
【拓展应用】
（3）如图2，如果图1中的抛物线y=

1

4

x²-1变成y=x²-4x+3，直线l变成y=m（m＜-1）．已知抛物线y=x²-4x+3的顶点为M，交x轴于A、B两点，且B点坐标为（3，0），N是对称轴上的一点，直线y=m（m＜-1）与对称轴于点C，若对于抛物线上每一点都有：该点到直线y=m的距离等于该点到点N的距离．
①用含m的代数式表示MC、MN及GN的长，并写出相应的解答过程；
②求m的值及点N的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据勾股定理，可得OP的长，根据点到直线的距离，可得可得PH的长；
（2）根据图象上的点满足函数解析式，可得点的坐标，根据勾股定理，可得PO的长，根据点到直线的距离，可得PH的长；
（3）①根据该点到直线y=m的距离等于该点到点N的距离，可得CM=MN，根据线段的和差，可得GN的长；
②对于抛物线上每一点都有：该点到直线y=m的距离等于该点到点N的距离，可得方程，根据解方程，可得m的值，再根据线段的和差，可得GN的长．

解答：解：（1）当m=0时，P（0，-1），OP=1，PH=-1-（-2）=1；
当m=4时，y=3，P（4，3），OP=

42+32

=5，PH=3-（-2）=3+2=5，
故答案为：1，1，5，5；
（2）猜想：OP=PH，
证明：PH交x轴与点Q，
∵P在y=

1

4

x²-1上，
∴设P（m，

1

4

m²-1），PQ=|

1

4

x²-1|，OQ=|m|，
∵△OPQ是直角三角形，
∴OP=

PQ2+OQ2

=

( 1 4 m2-1)2+m2

=

( 1 4 m2+1)2

=

1

4

m²+1，
PH=y_p-（-2）=（

1

4

m²-1）-（-2）=

1

4

m²+1
OP=PH．
（3）①CM=MN=-m-1，GN=2+m，
理由如下：对于抛物线上每一点都有：该点到直线y=m的距离等于该点到点N的距离，
M（2，-1），即CM=MN=-m-1．
GN=CG-CM-MN=-m-2（-m-1）=2+m．
②点B的坐标是（3，0），BG=1，GN=2+m．
由勾股定理，得BN=

BG2+GN2

=

12+(2+m)2

，
对于抛物线上每一点都有：该点到直线y=m的距离等于该点到点N的距离，得
即1+（2+m）²=（-m）²．
解得m=-

5

4

．
由GN=2+m=2-

5

4

=

3

4

，即N（2，-

3

4

），
∴m=-

5

4

，N点的坐标是（2，-

3

4

）．

点评：本题考查了二次函数综合题，利用了勾股定理，点到直线的距离，线段中点的性质，线段的和差，利用的知识点较多，题目稍有难度．