Question

10．如图，已知梯形ABCD，AC∥BD，点E在CD上，有下列五个条件：
①AE平分∠CAB；②BE平分∠DBA；③AE⊥BE；④CE=DE；⑤AB=AC+BD
请从五个件中任意选出两个作为条件，另外三个作为结论，组成一个真命题，并说明理由．
（备注：写出所有能成真命题的组合，并给出证明）

Answer 1

分析 在AB上取一点F，使AF=AC，连结EF，就可以得出△ACE≌△AFE，就有∠C=∠AFE．由平行线的性质就有∠C+∠D=180°，由∠AFE+∠EFB=180°得出∠EFB=∠D，再证明△BEF≌△BED，进而就可以得出结论．

解答 组合问题：已知梯形ABCD，AC∥BD，点E在CD上，AE平分∠CAB，BE平分∠DBA；
求证：（1）AB=AC+BD；
（2）AE⊥BE．
证明：在AB上取一点F，使AF=AC，连结EF．
∵EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，
∴∠CAE=∠FAE，∠EBF=∠EBD．
∵AC∥BD，
∴∠C+∠D=180°，
在△ACE和△AFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AF}\\{∠CAE=∠FAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△AFE（SAS），
∴∠C=∠AFE，
∵∠AFE+∠EFB=180°，
∴∠EFB=∠D，
在△BEF和△BED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EFB=∠D}\\{∠EBF=∠EBD}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△BED（AAS），
∴BF=BD，
∵AB=AF+BF，
∴AB=AC+BD；
（2）∵△ACE≌△AFE，
∴∠CEA=∠FEA，
∵△BEF≌△BED，
∴∠FEB=∠DEB，
∴∠AFE+∠FEB=90°，
∴AE⊥BE．

点评 本题考查了平行线的性质的运用，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．