Question

如图，矩形ABCD中，AP平分∠DAB，且AP⊥DP于点P，联结CP，如果AB﹦8，AD﹦4，求sin∠DCP的值．

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：

分析：过点P作PE⊥CD于点E，根据已知得出∠DAP=∠ADP=∠CDP=45°，在Rt△APD中通过正弦函数值求得DP，然后在Rt△DEP中根据正弦函数值求得PE、DE，进而求得CE，在Rt△DEP中，根据勾股定理求得PC，进而即可求得sin∠DCP的值．

解答：解：过点P作PE⊥CD于点E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=8，∠DAB=∠ADC=90°．
∵AP是∠DAB的角平分线，
∴∠DAP=

1

2

∠DAB=45°．
∵DP⊥AP，
∴∠APD=90°．
∴∠ADP=45°．
∴∠CDP=45°．
在Rt△APD中，AD=4，
∴DP=AD•sin∠DAP=2

2

，
在Rt△DEP中，∠DEP=90°，
∴PE=DP•sin∠CDP=2，DE=DP•cos∠CDP=2．
∴CE=CD-DE=6，
在Rt△DEP中，∠CEP=90°，PC=

CE2+PE2

=2

10

，
∴sin∠DCP=

PE

PC

=

10

10

．

点评：本题考查了直角三角形函数以及勾股定理，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键．