Question

6．如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD、CE．
（1）求证：△ACD≌△EDC；
（2）若点D是BC中点，说明四边形ADCE是矩形．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质、等腰三角形的性质，利用全等三角形的判定定理SAS可以证得△ADC≌△ECD；
（2）利用等腰三角形的“三合一”性质推知AD⊥BC，即∠ADC=90°；由平行四边形的判定定理（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）证得四边形ADCE是平行四边形，所以有一个角是直角的平行四边形是矩形．

解答 证明：（1）∵四边形ABDE是平行四边形（已知），
∴AB∥DE，AB=DE（平行四边形的对边平行且相等）；
∴∠B=∠EDC（两直线平行，同位角相等）；
又∵AB=AC（已知），
∴AC=DE（等量代换），∠B=∠ACB（等边对等角），
∴∠EDC=∠ACD（等量代换）；
∵在△ADC和△ECD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=ED}\\{∠ACD=∠EDC}\\{DC=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△ECD（SAS）；

（2）∵四边形ABDE是平行四边形（已知），
∴BD∥AE，BD=AE（平行四边形的对边平行且相等），
∴AE∥CD，
∵点D是BC中点，
∴BD=CD，
∴AE=CD（等量代换），
∴四边形ADCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
在△ABC中，AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC（等腰三角形的“三线合一”性质），
∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形．

点评 本题综合考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定以及矩形的判定．注意：矩形的判定定理是“有一个角是直角的‘平行四边形’是矩形”，而不是“有一个角是直角的‘四边形’是矩形”．