题目内容
9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．根据上面的信息，解答下面的问题：（1）当t为何值时，PQ⊥AB？
（2）当点Q在BE之间运动时，设五边形PQBCD的面积为y（cm2），求y与t之间的函数表达式．
分析 （1）如图①所示，当PQ⊥AB时，△PQE是直角三角形．解决问题的要点是将△PQE的三边长PE、QE、PQ用时间t表示，这需要利用相似三角形（△PQE∽△ACB）比例线段关系（或三角函数）；
（2）本问关键是利用等式“五边形PQBCD的面积=四边形DCBE的面积-△PQE的面积”，如图②所示．为求△PQE的面积，需要求出QE边上的高，因此过P点作QE边上的高，利用相似关系（△PME∽△ABC）求出高的表达式，从而问题解决；
解答 
解：（1）如图①，在Rt△ABC中，
AC=6，BC=8
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10．
∵D、E分别是AC、AB的中点．
AD=DC=3，AE=EB=5，DE∥BC且
DE=$\frac{1}{2}$BC=4
∵PQ⊥AB，
∴∠PQB=∠C=90°
又∵DE∥BC，
∴∠AED=∠B，
∴△PQE∽△ACB，
$\frac{PE}{AB}$=$\frac{QE}{BC}$，由题意得：PE=4-t，QE=2t-5，
即$\frac{4-t}{10}=\frac{2t-5}{8}$，
解得t=$\frac{41}{14}$；
（2）如图②，过点P作PM⊥AB于M，
由△PME∽△ACB，得$\frac{PM}{AC}$=$\frac{PE}{AB}$，
∴$\frac{PM}{6}$=$\frac{4-t}{10}$，得PM=$\frac{3}{5}$（4-t）．
S△PQE=$\frac{1}{2}$EQ•PM=$\frac{1}{2}$（5-2t）•$\frac{3}{5}$（4-t）=$\frac{3}{5}$t2-$\frac{39}{10}$t+6，
S梯形DCBE=$\frac{1}{2}$×（4+8）×3=18，
∴y=18-（$\frac{3}{5}$t2-$\frac{39}{10}$t+6）=-$\frac{3}{5}$t2+$\frac{39}{10}$t+12．
点评 本题是动点型综合题，解题关键是掌握动点运动过程中的图形形状、图形面积的表示方法．所考查的知识点涉及到勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、解方程（包括一元一次方程和一元二次方程）等，有一定的难度．注意题中求时刻t的方法：最终都是转化为一元一次方程或一元二次方程求解．
名校课堂系列答案
七个边长为1的正方形按如图所示的方式放置在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点A（4，4）且将这七个正方形的面积分成相等的两部分，则直线l与x轴的交点B的横坐标为（ ）| A． | $\frac{2}{3}$ | B． | $\frac{3}{4}$ | C． | $\frac{4}{5}$ | D． | $\frac{7}{9}$ |
作图题（作图工具不限，保留作图痕迹，写出结论）
（1）先化简，再求值：（3a2-ab+7）-（5ab-4a2+7），其中a=2，b=$\frac{1}{3}$．