Question

7．如图，在等腰直角三角形ABC中，以斜边AB的中点O为圆心的⊙O与AC相切于点D，与AB相交于点E，F，DF与CB的延长线交于点G．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求证：BF=BG；
（3）若AC=2，求CG的长．

Answer 1

分析 （1）如图所示，连接OD，过O作OH⊥BC于H，由⊙O与AC切于点D，得到∠ADO=∠OHB=90°，证得OD∥BC，推出△AOD≌△OBH，根据全等三角形的性质得到OH=OD，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠ODF=∠G，根据等腰三角形的性质得到∠ODF=∠OFD，等量代换得到∠BFG=∠G，于是得到结论；
（3）根据平行线等分线段定理得到AD=CD，求得AD=CD=1，根据相似三角形的性质列方程得到BG=$\sqrt{2}$-1，于是得到结论．

解答 解：（1）如图所示，连接OD，过O作OH⊥BC于H，
∵⊙O与AC切于点D，
∴∠ADO=∠OHB=90°，
又∵∠C=90°，
∴OD∥BC，
∴∠AOD=∠ABC，
又∵O是AB中点，
∴AO=BO，
在△AOD与△OBH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADO=∠BHO}\\{∠AOD=∠ABC}\\{AO=BO}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△OBH，
∴OH=OD，
∴BC是⊙O的切线；

（2）∵OD∥BC，
∴∠ODF=∠G，
∵OD=OF，
∴∠ODF=∠OFD，
∵∠OFD=∠BFG，
∴∠BFG=∠G，
∴BF=BG；

（3）∵OD∥BC，AO=BO，
∴AD=CD，
又∵AC=2，
∴AD=CD=1，
∴OD=OF=CD=1，
∴OF=1，
∵OD∥CH，
∴△ODF∽△BGF，
又∵AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴OB=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{1}$=$\frac{BG}{\sqrt{2}-1}$，
∴BG=$\sqrt{2}$-1，
∴CG=2+BG=$\sqrt{2}$+1．

点评 本题考查了正方形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、平行线分线段成比例定理的推论、相似三角形的判定和性质、切线的性质．解题的关键是正确的作出辅助线．