如图1.直线y=-$\frac{4}{3}$x+n交x轴于点A.交y轴于点C(0.4).抛物线y=$\frac{2}{3}$x2+bx+c经过点A.交y轴于点B．点P为抛物线上一个动点.过点P作x轴的垂线PD.过点B作BD⊥PD于点D.连接PB.设点P的横坐标为m．(1)求抛物线的解析式,(2)当△BDP为等腰直角三角形时.求线段PD的长, (3)如图2.将△BDP绕� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．如图1，直线y=-$\frac{4}{3}$x+n交x轴于点A，交y轴于点C（0，4），抛物线y=$\frac{2}{3}$x²+bx+c经过点A，交y轴于点B（0，-2）．点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；
（3）如图2，将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′=∠OAC，当点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标．

分析（1）先确定出点A的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）方法1、由△BDP为等腰直角三角形，判断出BD=PD，建立m的方程计算出m，从而求出PD；
方法2、分点P在直线BD上方和下方，两种情况讨论计算即可．
方法3、先判断出直线PD的解析式为y=-x-2或y=x-2即可求出点P的坐标，即可得出结论；
（3）分点P′落在x轴和y轴两种情况计算即可．

解答解：（1）∵点C（0，4）在直线y=-$\frac{4}{3}$x+n上，
∴n=4，
∴y=-$\frac{4}{3}$x+4，
令y=0，
∴x=3，
∴A（3，0），
∵抛物线y=$\frac{2}{3}$x²+bx+c经过点A，交y轴于点B（0，-2）．
∴c=-2，6+3b-2=0，
∴b=-$\frac{4}{3}$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-2，
（2）解法一：
∵点P的横坐标为m，且点P在抛物线上，
∴P（m，$\frac{2}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m-2），
∵PD⊥x轴，BD⊥PD
∴点D坐标为（m，-2）
∴|BD|=|m|，|PD|=|$\frac{2}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m-2+2||，
当△BDP为等腰直角三角形时，PD=BD．
∴|m|=|$\frac{2}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m-2+2|=|$\frac{2}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m|
∴m²=（$\frac{2}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m）²
解得：m₁=0（舍去），m₂=$\frac{7}{2}$，m₃=$\frac{1}{2}$
∴当△BDP为等腰直角三角形时，线段PD的长为$\frac{7}{2}$或$\frac{1}{2}$．
解法二：
∵点P的横坐标为m．
∴P（m，$\frac{2}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m-2），
当△BDP为等腰直角三角形时，PD=BD．
①当点P在直线BD上方时，PD=$\frac{2}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m
（i）若点P在y轴左侧，则m＜0，BD=-m．
∴$\frac{2}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m=-m，
解得m₁=0（舍去），m₂=$\frac{1}{2}$（舍去）
（ii）若点P在y轴右侧，则m＞0，BD=m．
∴$\frac{2}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m=m，
解得m₁=0（舍去），m₂=$\frac{7}{2}$．
②当点P在直线BD下方时，m＞0，BD=m，PD=-$\frac{2}{3}$m²+$\frac{4}{3}$m．
∴-$\frac{2}{3}$m²+$\frac{4}{3}$m=m，
解得m₁=0（舍去），m₂=$\frac{1}{2}$．
综上所述，m=$\frac{7}{2}$或$\frac{1}{2}$
即当△BDP为等腰直角三角形时，线段PD的长为$\frac{7}{2}$或$\frac{1}{2}$．

方法3、∵△BDP为等腰直角三角形，且PD⊥x轴，BD⊥PD，
∴∠PBD=45°，∴直线BP的解析式为y=-x-2①或y=x+2②，
∵点P在抛物线y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-2③上，
∴联立①③解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴P（$\frac{1}{2}$，-$\frac{5}{2}$），
∴D（$\frac{1}{2}$，-2），
∴PD=|-2-（-$\frac{5}{2}$）|=$\frac{1}{2}$
联立②③解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴m=$\frac{7}{2}$，
∴P（$\frac{7}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴D（$\frac{7}{2}$，-2），
∴PD=|$\frac{3}{2}$-（-2）|=$\frac{7}{2}$，
即当△BDP为等腰直角三角形时，线段PD的长为$\frac{7}{2}$或$\frac{1}{2}$．

（3）∵∠PBP'=∠OAC，OA=3，OC=4，
∴AC=5，
∴sin∠PBP'=$\frac{4}{5}$，cos∠PBP'=$\frac{3}{5}$，
①当点P'落在x轴上时，过点D'作D'N⊥x轴，垂足为N，交BD于点M，
∠DBD'=∠ND'P'=∠PBP'，
如图1，

由旋转知，P'D'=PD=$\frac{2}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m，
在Rt△P'D'N中，cos∠ND'P'=$\frac{ND'}{P'D'}$=cos∠PBP'=$\frac{3}{5}$，
∴ND'=$\frac{3}{5}$（$\frac{2}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m），
在Rt△BD'M中，BD'=-m，sin∠DBD'=$\frac{D'M}{BD'}$=sin∠PBP'=$\frac{4}{5}$，
∴D'M=-$\frac{4}{5}$m，
∴ND'-MD'=2，
∴$\frac{3}{5}$（$\frac{2}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m）-（-$\frac{4}{5}$m）=2，
∴m=$\sqrt{5}$（舍），或m=-$\sqrt{5}$，
如图2，

同①的方法得，ND'=$\frac{3}{5}$（$\frac{2}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m），MD'=$\frac{4}{5}$m
ND'+MD'=2，
∴$\frac{3}{5}$（$\frac{2}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m）+$\frac{4}{5}$m=2，
∴m=$\sqrt{5}$，或m=-$\sqrt{5}$（舍），
∴P（-$\sqrt{5}$，$\frac{4\sqrt{5}+4}{3}$）或P（$\sqrt{5}$，$\frac{-4\sqrt{5}+4}{3}$），
②当点P'落在y轴上时，如图3，
过点D′作D′M⊥x轴，交BD于M，过点P′作P′N⊥y轴，交MD'的延长线于点N，

∴∠DBD′=∠ND′P′=∠PBP′，
同①的方法得，P'N=$\frac{4}{5}$（$\frac{2}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m），BM=$\frac{3}{5}$m，
∵P′N=BM，
∴$\frac{4}{5}$（$\frac{2}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m）=$\frac{3}{5}$m，
∴m=$\frac{25}{8}$，
∴P（$\frac{25}{8}$，$\frac{11}{32}$）．
∴P（-$\sqrt{5}$，$\frac{4\sqrt{5}+4}{3}$）或P（$\sqrt{5}$，$\frac{-4\sqrt{5}+4}{3}$）或P（$\frac{25}{8}$，$\frac{11}{32}$）．