Question

2．已知抛物线y=ax²+bx+c交x轴于点A（-1，0）、B（5，0），交y轴于点C（0，5），点D是该抛物线上一点，且点D的横坐标为4，连BD，点P是线段AB上一动点（不与点A重合），过P作PQ⊥AB交射线AD于点Q，以PQ为一边在PQ的右侧作正方形PQMN．设点P的坐标为（t，0）．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点Q在线段AD上时，延长PQ与抛物线交于点G，求t为何值时，线段QG最长．
（3）在AB上是否存在点P，使△OCM为等腰三角形？若存在，求正方形PQMN 的边长；若不存在，请说明理由；
（4）设正方形PQMN与△ABD重叠部分面积为s，求s与t 的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）由于已知点A、点D坐标，根据待定系数法即可求出抛物线解析式；
（2）根据抛物线解析式可求D（4，5）．由于已知A（-1，0），D（4，5），根据待定系数法即可求得直线AD的解析式为：y=x+1，设P（t，0），可得Q（t，t+1），G（t，-t²+4t+5），根据两点间的坐标公式可得QG，再根据二次函数的最值问题即可求解；
（3）假设存在点P，使△OCM为等腰三角形，根据勾股定理，若能求出P点坐标，则P存在，同时可求出正方形PQMN 的边长；否则P不存在；
（4）由于重叠部分面积是不确定的，所以要根据其重叠程度，分情况讨论，得到不同的表达式．

解答 解：（1）如图，C点坐标为（0，5），则c=5．
代入点A（-1，0），B（5，0）到y=ax²+bx+5中，得方程组$\left\{\begin{array}{l}{a-b+5=0}\\{25a+5b+5=0}\end{array}\right.$，
解得a=-1，b=4．
故抛物线解析式为y=-x²+4x+5．
（2）当x=4时，y=-4²+4×4+5=5，则D（4，5）．
由A（-1，0），D（4，5）得直线AD的解析式为：y=x+1，
设P（t，0），则Q（t，t+1），G（t，-t²+4t+5），
∵点Q在线段AD上．
∴QG=-t²+3t+4=-（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，
当t=$\frac{3}{2}$时，QG最长为$\frac{25}{4}$．
（3）∵直线AD的解析式为：y=x+1，且P（t，0）．
∴Q（t，t+1），M（2t+1，t+1）
当MC=MO时，t+1=$\frac{5}{2}$，
∴边长为$\frac{5}{2}$．
当OC=OM时，（2t+1）²+（t+1）²=5²，
解得t₁=-$\frac{3}{5}$-$\frac{\sqrt{115}}{5}$（舍去），t₂=-$\frac{3}{5}$+$\frac{\sqrt{115}}{5}$，
∴边长为t+1=$\frac{2}{5}$+$\frac{\sqrt{115}}{5}$．
当CO=CM时，（2t+1）²+（4-t）²=5²，
解得t₁=$\frac{2+2\sqrt{11}}{5}$，t₂=$\frac{2-2\sqrt{11}}{5}$．
∴边长为t+1=$\frac{7+2\sqrt{11}}{5}$，或t+1=$\frac{7-2\sqrt{11}}{5}$．
（4）当-1＜t≤$\frac{19}{11}$时，正方形的边长为（t+1），故其面积为：s=（t+1）²；
当$\frac{19}{11}$≤t≤2时：S=-$\frac{111}{10}$t²+$\frac{219}{5}$t-$\frac{351}{5}$；
当2≤t≤4时：S=-$\frac{11}{10}$t²+$\frac{19}{5}$t+$\frac{49}{10}$；
当4≤t≤5时：S=$\frac{5}{2}$t²-25t+$\frac{125}{2}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，二次函数的图象和性质、待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、三角形及正方形的性质、存在性问题等内容，综合性强，属于难题．