Question

已知：如图在△ABC中，BD，CE为两条高线，F为BD上一点，G为CE延长线上一点，BF=AC，CG=AB．
（1）请你判断△AFG的形状并证明．
（2）当F为BD反向延长线上一点，G为CE反向延线上一点，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请你画出图形，并证明你的结论．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）先证∠ABF=∠ACE，再证明△ABF≌△GCA（SAS），得出AF=AG，∠BAF=∠CGA，然后证出∠FAG=90°即可；
（2）先证∠ABF=∠GCA，再证明△ABF≌△GCA（SAS），可得AF=AG，∠BAF=∠CGA，再由角的关系证出∠FAG=90°即可证出△AFG是等腰直角三角形．

解答：解：（1）△AFG为等腰直角三角形；
证明：∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∴∠ABF+∠BAD=90°，∠ACE+∠BAD=90°，
∴∠ABF=∠ACE，
在△ABF和△GCA中，

BF=AC   ∠ABF=∠ACE   AB=CG

∴△ABF≌△GCA（SAS），
∴AF=AG，∠BAF=∠CGA，
∵∠CGA+∠GAE=90°，
∴∠BAF+∠GAE=90°，
即∠FAG=90°，
∴△AFG是等腰直角三角形；
（2）（1）中的结论成立；
证明：如图2所示：
由（1）得，∠ABF=∠ACE，
∴∠ABF=∠GCA，
在△ABF和△GCA中，

BF=AC   ∠ABF=∠CGA   AB=CG

∴△ABF≌△GCA（SAS），
∴AF=AG，∠BAF=∠CGA，
∵∠ACE=∠CGA+∠CAG，∠ACE+∠EAC=90°，
∴∠BAF+∠CAG+∠EAC=90°，
即∠FAG=90°，
∴△AFG是等腰直角三角形．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定；证明角相等和三角形全等是解决问题的关键．