Question

已知等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点D在直线AC上，且CD=2，连接BD，作BD的垂直平分线交三角形的两边于E、F，则EF的长为

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,勾股定理

专题：分类讨论

分析：如图，作辅助线；首先证明DE=BE（设为μ），DF=BF（设为γ）；运用勾股定理分别求出BE、BF、BD的长度；借助三角形的面积公式，列出关于EF的等式，求出EF即可解决问题．

解答：解：如图，过点D作DG⊥AE于点G；
∵∠C=90°，AC=BC=4，
∴AB=

42+42

=4

2

，∠A=45°；
∵∠ADG=90°-45°=45°，
∴∠A=∠ADG，AG=DG（设为λ），
由勾股定理得：λ²+λ²=AD²，而AD=AC-2=2，
λ=

2

，BG=3

2

．
由勾股定理得：BD=2

5

；
∵EF⊥BD，且平分BD，
∴DE=BE（设为μ），DF=BF（设为γ），
∴GE=3

2

-μ，CF=4-γ；
在△DGE中，由勾股定理得：
(3

2

-μ)2+(

2

)2=μ2，
解得：μ=

5 2

3

；在△DCF中，
同理可求：γ=2.5；
∵S_{四边形BEDF}=S_△BED+S_△BFD，
S四边形BEDF=

1

2

BD•EF，
∴

1

2

BE•DG+

1

2

BF•DC=

1

2

BD•EF，
解得：EF=

5 5

6

．
故答案为

5 5

6

．

点评：该题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握勾股定理、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等几何知识点是灵活解题的基础和关键．