Question

20．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AC与BD交于点O，AC=BD=8，AD=4．
（1）求证：OA=OB；
（2）求OA的长．

Answer 1

分析 （1）利用直角三角形全等的判定可证得Rt△ADB≌Rt△BCA，则可求得∠OAB=∠OBA，可证得OA=OB；
（2）在Rt△ADO中，设OA为x，利用勾股定理可求得OA的长．

解答 （1）证明：
∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠D=∠C=90°，
在Rt△ADB和Rt△BCA中
$\left\{\begin{array}{l}{BD=AC}\\{AB=BA}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADB≌Rt△BCA（HL），
∴∠OAB=∠OBA，
∴OA=OB；
（2）解：
∵OA=OB，AC=BD=8，
∴OD=OC，
设OA为x，则OD=OC=8-x，
在Rt△ADO中，OA²=OD²+AD²，
∴x²=（8-x）²+4²，解得x=5，
∴OA的长为5．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质及勾股定理的应用，掌握直角三角形全等的判定方法HL是解题的关键．